2017年北京市东城区高三理科二模数学试卷

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1、2017年北京市东城区高三理科二模数学试卷一、选择题（共8小题；共40分）1.已知全集U=R，集合M=xx2−4≤0，则∁UM等于______A.x−22D.xx≤−2或x≥22.下列函数中为奇函数的是  A.y=x+cosxB.y=x+sinxC.y=xD.y=e−∣x∣3.若x，y，满足x−y+1≥0,x+y≤0,y≥0,则x+2y的最大值为  A.−1B.0C.12D.24.已知非零平面向量a，b，“a+b=a−b”是“a⊥b”的  A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知等比数列an

2、为递增数列，Sn是其前n项和．若a1+a5=172，a2a4=4，则S6=  A.2716B.278C.634D.6326.我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202—1261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的n=5，v=1，x=2，则程序框图计算的是  A.25+24+23+22+2+1B.25+24+23+22+2+5C.26+25+24+23+22+2+1D.24+23+22+2+17.动点P从点A出发，按逆时针方向沿周长为l的平面图形运动一周，A，P两点间的距离y与动点P所走过的路程x的关系如图所

3、示，那么动点P所走的图形可能是  第9页（共9页）A.B.C.D.8.据统计某超市两种蔬菜A，B连续n天价格分别为a1，a2，a3，⋯，an和b1，b2，b3，⋯，bn，令M=mam

4、sθ+3ρsinθ+1=0与圆ρ=2acosθa>0相切，则a=______．11.某校开设A类选修课4门，B类选修课2门，每位同学需从两类选修课中共选4门．若要求至少选一门B类课程，则不同的选法共有______种．（用数字作答）12.如图，在四边形ABCD中，∠ABD=45∘，∠ADB=30∘，BC=1，DC=2，cos∠BCD=14，则BD=______；三角形ABD的面积为______．13.在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2=4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60∘，则∣OA∣=______．第9页（共9页）14.已知函数

5、fx=x−1,x∈0,2minx−1,x−3,x∈2,4minx−3,x−5,x∈4,+∞．①若fx=a有且只有一个根，则实数a的取值范围是______．②若关于x的方程fx+T=fx有且仅有3个不同的实根，则实数T的取值范围是______．三、解答题（共6小题；共78分）15.已知函数fx=3sin2x+a⋅cos2xa∈R．（1）若fπ6=2，求a的值；（2）若fx在π12,7π12上单调递减，求fx的最大值．16.小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园．根据旅游局统计数据，该主题公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，40%以下为

6、舒适，40%∼60%为一般，60%以上为拥挤）情况如图所示．小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览2天．（1）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；（2）设X是小明游览期间遇上舒适的天数，求X的分布列和数学期望；（3）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大?（结论不要求证明）17.如图，在几何体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，且∠DAB=60∘，EA=ED=AB=2EF，EF∥AB，M为BC中点．（1）求证：FM∥平面BDE；（2）求直线CF与平面BDE所成角的正弦值；（3）在棱CF上是否存在点G，使BG⊥DE?若存在，求

7、CGCF的值；若不存在，说明理由．第9页（共9页）18.设函数fx=x2+ax−a⋅e−xa∈R．（1）当a=0时，求曲线y=fx在点−1,f−1处的切线方程；（2）设gx=x2−x−1，若对任意的t∈0,2，存在s∈0,2使得fs≥gt成立，求a的取值范围．19.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的短轴长为23，右焦点为F1,0，点M是椭圆C上异于左、右顶点A，B的一点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线AM与直线x=2交于点N，线段BN的中点