2016年北京高考理科数学真题试卷.docx

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1、2016年北京高考理科数学真题试卷一、选择题（共8小题；共40分）1.已知集合A=xx<2，B=−1,0,1,2,3，则A∩B=  A.0,1B.0,1,2C.−1,0,1D.−1,0,1,22.若x，y满足2x−y≤0,x+y≤3,x≥0.则2x+y的最大值为  A.0B.3C.4D.53.执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为  A.1B.2C.3D.44.设a，b是向量，则“a=b”是“a+b=a−b”的  A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知x,y∈R

2、，且x>y>0，则  A.1x−1y>0B.sinx−siny>0C.12x−12y<0D.lnx+lny>06.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为  第8页（共8页）A.16B.13C.12D.17.将函数y=sin2x−π3图象上的点Pπ4,t向左平移ss>0个单位长度得到点Pʹ．若Pʹ位于函数y=sin2x的图象上，则  A.t=12，s的最小值为π6B.t=32，s的最小值为π6C.t=12，s的最小值为π3D.t=32，s的最小值为π38.袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从

3、袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则  A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多二、填空题（共6小题；共30分）9.设a∈R，若复数1+ia+i在复平面内对应的点位于实轴上，则a= ．10.在1−2x6的展开式中，x2的系数为 ．（用数字作答）11.在极坐标系中，直线ρcosθ−3ρsinθ−1=0与圆ρ=2cosθ交于A，B两点，则∣AB∣

4、= ．12.已知an为等差数列，Sn为其前n项和，若a1=6，a3+a5=0，则S6= ．13.双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a= ．14.设函数fx=x3−3x,x≤a−2x,x>a．①若a=0，则fx的最大值为 ；②若fx无最大值，则实数a的取值范围是 ．三、解答题（共6小题；共78分）15.在△ABC中，a2+c2=b2+2ac．（1）求∠B的大小；（2）求2cosA+cosC的最大值．第8页（共8页）16.A

5、，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：A班6  6.5  7  7.5  8B班6  7  8  9  10  11  12C班3  4.5  6  7.5  9  10.5  12  13.5（1）试估计C班的学生人数；（2）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（3）再从A，B，C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间

6、分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小．（结论不要求证明）17.如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=5．（1）求证：PD⊥平面PAB；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（3）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD?若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由．18.设函数fx=xea−x+bx，曲线y=fx在点2,f2处的切

7、线方程为y=e−1x+4．（1）求a，b的值；（2）求fx的单调区间．19.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为32，Aa,0，B0,b，O0,0，△OAB的面积为1．（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：AN⋅BM为定值．20.设数列A：a1，a2，⋯，aNN≥2．如果对小于n2≤n≤N的每个正整数k都有ak

8、；（2）证明：若数列A中存在an使得an>a1，则GA≠∅；（3）证明：若数列A满足an−an−1≤1n=2,3,⋯,N，则GA的元素个数不小于aN−a1．第8页（共8页）答案第一部分1.C【解析】因为A=xx<2=x−2