2016届北京市石景山区高三上学期期末考试数学（理科）

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1、2016届北京市石景山区高三上学期期末考试数学（理科）一、选择题（共7小题；共35分）1.若变量x，y满足约束条件x+y≤2,x≥1,y≥0,则z=2x+y的最大值为  A.0B.2C.3D.42.程序框图表示算法的运行结果是  A.−2B.2C.−1D.13.已知数列an是等差数列，a3=8，a4=4，则前n项和Sn中最大的是  A.S3B.S4或S5C.S5或S6D.S64.“ab=4”是直线2x+ay−1=0与直线bx+2y−2=0平行的  A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.若曲线y2=2

2、pxp<0上只有一个点到其焦点的距离为1，则p的值为  A.4B.3C.2D.16.如图，点O为正方体ABCD−AʹBʹCʹDʹ的中心，点E为面BʹBCCʹ的中心，点F为BʹCʹ的中点，则空间四边形DʹOEF在该正方体的面上的正投影不可能是  第9页（共9页）A.B.C.D.7.如图，在等腰梯形ABCD中，AB=12CD，E，F分别是AB，CD的中点，把四边形BEFC沿直线EF折起，使得面BEFC⊥面ADFE，若动点P∈平面ADFE，设PB，PC与平面ADFE所成的角分别为θ1，θ2（θ1，θ2均不为0）．若θ1=θ2，则动点P的轨迹为  A.

3、直线B.椭圆C.圆D.抛物线二、解答题（共6小题；共78分）8.已知函数fx=23sinxcosx−2sinx2，x∈R．（1）求函数fx的最小正周期与单调增区间；（2）求函数fx在0,π4上的最大值与最小值．9.某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况．从全体学生中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如下：76的为优良．（1）写出这组数据的众数和中位数；（2）将频率视为概率．根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（3）从抽取的12人中随机选取3人，

4、记ξ表示成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．10.在四棱锥P−ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90∘，AB=AD=PD=1，CD=2．第9页（共9页）（1）求证：BE∥平面PAD；（2）求证：BC⊥平面PBD；（3）在线段PC上是否存在一点Q，使得二面角Q−BD−P为45∘?若存在，求PQPC的值；若不存在，请述明理由．11.已知函数fx=x−1+aex（a∈R，e为自然对数的底数）．（1）若曲线y=fx在点1,f1处的切线平行于x轴，求a的值；（2）求函数f

5、x的极值；（3）当a=1时，若直线l:y=kx−1与曲线y=fx没有公共点，求k的最大值．12.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，M为直线x=−3上任意一点，过F作MF的垂线交椭圆C于点P，Q．证明：OM经过线段PQ的中点N．（其中O为坐标原点）13.给定一个数列an，在这个数列里，任取m（m≥3，m∈N*）项，并且不改变它们在数列an中的先后次序，得到的数列称为数列an的一个m阶子数列．已知数列an的通项公式为an=1n+

6、a（n∈N*，a为常数），等差数列a2，a3，a6是数列an的一个3阶子数列．（1）求a的值；（2）等差数列b1，b2，⋯，bm是an的一个m（m≥3，m∈N*）阶子数列，且b1=1k（k为常数，k∈N*，k≤2），求证：m≤k+1；（3）等比数列c1，c2，⋯，cm是an的一个m（m≥3，m∈N*）阶子数列，求证：c1+c2+⋯+cm≤2−12m−1．三、选择题（共1小题；共5分）14.设集合M=xx2+x−6<0，N=x1≤x≤3，则M∩N等于  A.1,2B.1,2C.2,3D.2,3四、填空题（共6小题；共30分）15.在复平面内，复数

7、2i1−i对应的点到原点的距离为______．第9页（共9页）16.x−1x5的二项展开式中x项的系数为  ．（用数字作答）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．a=15，b=10，A=60∘，则cosB=______．18.在极坐标系中，设曲线ρ=2和ρcosθ=1相交于点A，B，则AB=______．19.2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是______种．（用数字作答）20.股票交易的开盘价是这样确定的：每天开盘前，由投资者填报某种股票的意向买价或意向卖价以及相应的意

8、向股数，然后由计算机根据这些数据确定适当的价格，使得在该价位上能够成交的股数最多.（注：当卖方意向价不高于开盘价，同时买方意向价不低于开盘价，能够成交