2015年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）上海卷

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1、2015年上海理一、填空题（共14小题；共70分）1.设全集U=R．若集合A=1,2,3,4，B=x2≤x≤3，则A∩∁UB= ．2.若复数z满足3z+z=1+i，其中i为虚数单位，则z= ．3.若线性方程组的增广矩阵为23c101c2、解为x=3,y=5,则c1−c2= ．4.若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为163，则a= ．5.抛物线y2=2pxp>0上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p= ．6.若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ．7.方程log29x−1

2、−5=log23x−1−2+2的解为 ．8.在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）．9.已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为y=±3x，则C2的渐近线方程为 ．10.设f−1x为fx=2x−2+x2，x∈0,2的反函数，则y=fx+f−1x的最大值为 ．11.在1+x+1x201510的展开式中，x2项的系数为 （结果用数值表示）．12.赌博有陷阱．

3、某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则Eξ1−Eξ2= （元）．13.已知函数fx=sinx．若存在x1，x2，⋯，xm满足0≤x1

4、BC中，tanA=12，D为边BC上的点，△ABD与△ACD的面积分别为2和4．过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则DE⋅DF= ．二、选择题（共4小题；共20分）15.设z1,z2∈C，则“z1，z2中至少有一个数是虚数”是“z1−z2是虚数”的 ()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件16.已知点A的坐标为43,1，将OA绕坐标原点O逆时针旋转π3至OB，则点B的纵坐标为 ()A.332B.532C.112D.13217.记方程①：x2+a1x+1=0，方程②：

5、x2+a2x+2=0，方程③：x2+a3x+4=0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是 ()A.方程①有实根，且②有实根B.方程①有实根，且②无实根第8页（共8页）C.方程①无实根，且②有实根D.方程①无实根，且②无实根18.设Pnxn,yn是直线2x−y=nn+1n∈N*与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限limn→∞yn−1xn−1= ()A.−1B.−12C.1D.2三、解答题（共5小题；共65分）19.如图，在长方体ABCD−A1

6、B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E，F分别是棱AB，BC的中点．证明A1，C1，F，E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE所成角的正弦值．20.如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，过t小时，他们之间的距离为ft（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后在原地等待．设t=t1时，乙到达C地．Ⅰ求t1与ft1的值；Ⅱ已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米

7、．当t1≤t≤1时，求ft的表达式，并判断ft在t1,1上的最大值是否超过3?说明理由．21.己知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A，B和C，D．记得到的平行四边形ACBD的面积为S．Ⅰ设Ax1,y1，Cx2,y2．用A，C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2x1y2−x2y1；Ⅱ设l1与l2的斜率之积为−12，求面积S的值．22.已知数列an与bn满足an+1−an=2bn+1−bn，n∈N*．Ⅰ若bn=3n+5，且a1=1，求an的通项公式；Ⅱ设an的第n0项是

8、最大项，即an0≥ann∈N*．求证：bn的第n0项是最大项；Ⅲ设a1=λ<0，bn=λnn∈N*．求λ的取值范围，使得an有最大值M与最小值m，且Mm∈−2,2．23.对于定义域为R的函数gx，若存在正常数T，使得cosgx是以T为周期的函数，则称gx为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知fx是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设fx单调递增，f0=0，fT=4π．Ⅰ验证hx=x+sinx3是以6π为余弦周期的余弦