2015年湖南永州中考数学

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2015年湖南永州中考数学一、选择题（共10小题；共50分）1.在数轴上表示数−1和2014的两点分别为A和B，则A和B两点间的距离为______A.2013B.2014C.2015D.20162.下列运算正确的是______A.a2⋅a3=a6B.−a+ba+b=b2−a2C.a34=a7D.a3+a5=a83.某中学九年级舞蹈兴趣小组8名学生的身高分别为（单位：cm）：168，165，168，166，170，170，176，170，则下列说法错误的是______A.这组数据的众数是170B.这组数据的中位数是169C.这组数据的平均数是169D.若从8名学生中任选1名学生参加校文艺会演，则这名学生的身高不低于170的概率为12．4.永州市双牌县的阳明山风光秀丽，历史文化源远流长，尤以山顶数万亩野生杜鹃花最为壮观，被誉为“天下第一杜鹃红”．今年“五一”期间举办了“阳明山杜鹃花旅游文化节”，吸引了众多游客前去观光赏花．在文化节开幕式当天，从早晨8：00开始每小时进入阳明山景区的游客人数约为1000人，同时每小时走出景区的游客人数约为600人，已知阳明上景区游客的饱和人数约为2000人，则据此可知开幕式当天该景区游客人数饱和的时间约为______A.10：00B.12：00C.13：00D.16：005.一张桌子上摆放有若干个大小、形状完全相同的碟子，现从三个方向看，其三种视图如图所示，则这张桌子上碟子的总数为______A.11B.12C.13D.146.如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别交⊙O于C，D两点，已知AB和CD所对的圆心角分别为90∘和50∘，则∠P=______第10页（共10页） A.45∘B.40∘C.25∘D.20∘7.若不等式组x<1,x>m−1恰有两个整数解，则m的取值范围是______A.−1≤m<0B.−10）的图象上，则______<______<______（填y1，y2，y3）．15.如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=______．16.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标−2,0，△ABO是直角三角形，∠AOB=60∘．现将Rt△ABO绕原点O按顺时针方向旋转到Rt△AʹBʹO的位置，则此时边OB扫过的面积为______．17.在等腰△ABC中，AB=AC，则有BC边上的中线，高线和∠BAC的平分线重合于AD（如图一）．若将等腰△ABC的顶点A向右平行移动后，得到△AʹBC（如图二），那么，此时BC边上的中线、BC边上的高线和∠BAʹC的平分线应依次分别是______，______，______．（填AʹD，AʹE，AʹF）18.设an为正整数n4的末位数，如a1=1，a2=6，a3=1，a4=6．则a1+a2+a3+⋯+a2013+a2014+a2015=______．三、解答题（共9小题；共117分）19.计算：cos30∘−124+12−2．第10页（共10页） 20.先化简，再求值：2m+nm2−2mn+n2⋅m−n，其中mn=2．21.中央电视台举办的“中国汉字听写大会”节目受到中学生的广泛关注．某中学为了了解学生对观看“中国汉字听写大会”节目的喜爱程度，对该校部分学生进行了随机抽样调查，并绘制出如图所示的两幅统计图．在条形图中，从左向右依次为：A类（非常喜欢），B类（较喜欢），C类（一般），D类（不喜欢）．已知A类和B类所占人数的比是5:9，请结合两幅统计图，回答下列问题：（1）写出本次抽样调查的样本容量；（2）请补全两幅统计图；（3）若该校有2000名学生．请你估计观看“中国汉字听写大会”节目不喜欢的学生人数．22.已知关于x的一元二次方程x2+x+m2−2m=0有一个实数根为−1，求m的值及方程的另一实根．23.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90∘，BC=DC．延长AD到E点，使DE=AB．（1）求证：∠ABC=∠EDC；（2）求证：△ABC≌△EDC．24.如图，有两条公路OM，ON相交成30∘角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若一直重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．25.如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD．第10页（共10页） （1）求证：BE=CE；（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；（3）若BC=8，AD=10，求CD的长．26.已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为1,0，与y轴的交点坐标为0,14，R1,1是抛物线对称轴l上的一点．（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；（2）若P是抛物线上的一个动点（如图一），求证：点P到R的距离与点P到直线y=−1的距离恒相等；（3）设直线PR与抛物线的另一交点为Q，E为线段PQ的中点，过点P，E，Q分别作直线y=−1的垂线．垂足分别为M，F，N（如图二）．求证：PF⊥QF．27.问题探究：（一）新知学习：圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形EFGH的对角互补，那么四边形EFGH的四个顶点E，F，G，H都在同个圆上）．（二）问题解决：已知⊙O的半径为2，AB，CD是⊙O的直径．P是BC上任意一点，过点P分别作AB，CD的垂线，垂足分别为N，M．第10页（共10页） （1）若直径AB⊥CD，对于BC上任意一点P（不与B，C重合）（如图一），证明四边形PMON内接于圆，并求此圆直径的长；（2）若直径AB⊥CD，在点P（不与B，C重合）从B运动到C的过程汇总，证明MN的长为定值，并求其定值；（3）若直径AB与CD相交成120∘角．①当点P运动到BC的中点P1时（如图二），求MN的长；②当点P（不与B，C重合）从B运动到C的过程中（如图三），证明MN的长为定值．（4）试问当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值．第10页（共10页） 答案第一部分1.C2.B3.C4.C5.B6.D7.A8.D9.D10.C第二部分11.3.65×10812.12013.≥214.y1；y3；y215.316.14π17.AʹD，AʹF，AʹE18.6652第三部分19.原式=32−234+4=4.20.原式=2m+nm−n2⋅m−n=2m+nm−n,由mn=2得m=2n，故原式=4n+n2n−n=5nn=5．21.（1）20÷20%=100，∴本次抽样调查的样本容量为100．      （2）如图所示：]      （3）2000×25%=500（人）．故若该校有2000名学生．估计观看“中国汉字听写大会”节目不喜欢的学生人数为500人．22.把x=−1代入x2+x+m2−2m=0，得−12+−1+m2−2m=0,第10页（共10页） 即mm−2=0,解得m1=0，m2=2．综上所述，m的值是0或2，方程的另一实根是0．23.（1）在四边形ABCD中，∵∠BAD=∠BCD=90∘，∴90∘+∠B+90∘+∠ADC=360∘，∴∠B+∠ADC=180∘，∵∠CDE+∠ADC=180∘，∴∠ABC=∠CDE．      （2）AC，由（1）证得∠ABC=∠CDE，在△ABC和△EDC中，AB=DE,∠ABC=∠CDE,BC=CD,∴△ABC≌△EDC（SAS）．24.（1）过点A作AD⊥ON于点D，∵∠NOM=30∘，AO=80 m，∴AD=40 m，即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离为40米．      （2）Rt△ABD中，AB=50，AD=40，由勾股定理得BD=AB2−AD2=502−402=30 m，故BC=2×30=60米，即重型运输卡车在经过BC时对学校产生影响．∵重型运输卡车的速度为18千米/小时，即1800060=300米/分钟，∴重型运输卡车经过BD时需要60÷300=0.2（分钟）．答：卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为0.2分钟．25.（1）∵AB=AC，∴AC=AB．∵AD是直径，∴CD=BD．∴∠BAD=∠CAD，∴BE=CE．      （2）四边形BFCD是菱形．证明：∵AD是直径，AB=AC，∴AD⊥BC，BE=CE，∵CF∥BD，∴∠FCE=∠DBE，在△BED和△CEF中，∠FCE=∠DBE,BE=CE,∠BED=∠CEF=90∘,第10页（共10页） ∴△BED≌△CEF，∴CF=BD，∴四边形BFCD是平行四边形，∵∠BAD=∠CAD，∴BD=CD，∴四边形BFCD是菱形．      （3）∵AD是直径，AD⊥BC，BE=CE，∴CE2=DE⋅AE，设DE=x，∵BC=8，AD=10，∴42=x10−x，解得x=2或x=8（舍去）在Rt△CED中，CD=CE2+DE2=42+22=25．26.（1）设抛物线解析式为y=ax−12，把0,14代入得a=14，所以抛物线解析式为y=14x−12．      （2）如图1，设Px,14x−12，则PM=14x−12+1，∵PR2=x−12+14x−12−12=x−12+14x−14−12x−12+1=14x−14+12x−12+1=14x−12+12,∴PR=14x−12+1，∴PR=PM，即点P到R的距离与点P到直线y=−1的距离恒相等．      （3）由（2）得QN=QR，PR=PM，∴PQ=PR+QR=PM+QN，∵EF⊥MN，QN⊥MN，PM⊥MN，而E为线段PQ的中点，∴EF为梯形PMNQ的中位线，∴EF=12QN+PM，∴EF=12PQ，∴EF=EQ=EP，∴点F在以PQ为直径的圆上，∴∠PFQ=90∘，∴PF⊥QF．27.（1）如图一，第10页（共10页） ∵PM⊥OC，PN⊥OB，∴∠PMO=∠PNO=90∘，∴∠PMO+∠PNO=180∘，∴四边形PMON内接于圆，直径OP=2．      （2）如图一，∵AB⊥OC，即∠BOC=90∘，∴∠BOC=∠PMO=∠PNO=90∘，∴四边形PMON是矩形，∴MN=OP=2，∴MN的长为定值，该定值为2．      （3）①如图二，∵P1是BC的中点，∠BOC=120∘，∴∠COP1=∠BOP1=60∘，∠MP1N=60∘．∵P1M⊥OC，P1N⊥OB，∴P1M=P1N，∴△P1MN是等边三角形，∴MN=P1M．∵P1M=OP1⋅sin∠MOP1=2×sin60∘=3，∴MN=3；②设四边形PMON的外接圆为⊙Oʹ，连接NOʹ并延长，交⊙Oʹ于点Q，连接QM，如图，∠QMN=90∘，∠MQN=∠MPN=60∘，在Rt△QMN中，sin∠MQN=MNQN，∴MN=QN⋅sin∠MQN，∴MN=OP⋅sin∠MQN=2×sin60∘=2×32=3，∴MN是定值．      （4）由（3）②得MN=OP⋅sin∠MQN=2sin∠MQN．当直径AB与CD相交成90∘角时，∠MQN=180∘−90∘=90∘，MN取得最大值2．第10页（共10页）