2015年广东省东莞市南开实验学校高三上学期理科期初数学试卷

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1、2015年广东省东莞市南开实验学校高三上学期理科期初数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1.集合B=3,7,5,9，集合C=0,5,9,4,7，则B∪C为  A.7,9B.0,3,7,9,4,5C.5,7,9D.∅2.已知a+i1−bi=2i（其中a，b均为实数，i为虚数单位），则∣a+bi∣等于  A.2B.2C.1D.1或23.“点Ptanα,cosα在第二象限”是“角α的终边在第四象限”的  A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.设随机变量X服从二项分布X∼Bn,p，则Dx2EX2等于  A.p2B.1−p2C.1−p

2、D.以上都不对5.两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为  A.48B.36C.24D.126.已知0

3、2或1D.2或−19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若asinB+bsinA=2c，则∠A的大小是  A.π2B.π3C.π4D.π610.巳知椭圆C1：x2a2+y2b2=1a>b>0与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是  A.0,22B.0,32C.22,1D.32,111.当x<0时，函数fx=x2+1x2−x−1x的最小值是  A.−94B.0C.2D.412.过边长为2的正方形中心作直线l将正方形分为两个部分，将其中的一个部分沿直线l翻折到另一个部分

4、上．则两个部分图形中不重叠的面积的最大值为  第11页（共11页）A.2B.23−2C.42−2D.43−22二、填空题（共4小题；共20分）13.已知tanα=−2，tanα+β=17，则tanβ的值为 ．14.执行如图所示的程序框图，若将判断框内“S>100”改为关于n的不等式“n≥n0”且要求输出的结果不变，则正整数n0的值 ．15.某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系，将该校不小于35岁的80名教师按年龄分组，分组区间为35,40，40,45，45,50，50,55，55,60，由此得到频率分布直方图如图，则这80名教师中年龄小于45岁的教师有 

5、人．16.已知OA=OB=1，且∠AOB=π3，动点C满足OC=xOA+yOB．给出以下命题：①若x+y=1，则点C的轨迹为直线；②若x+y=1，则点C的轨迹为矩形；③若xy=1，则点C的轨迹为抛物线；④若xy=1，则点C的轨迹为直线；⑤若x2+y2+xy=1，则点C的轨迹为圆．以上命题正确的为 （写出所有正确命题的编号）．第11页（共11页）三、解答题（共8小题；共104分）17.已知数列an满足a1=2，an+1=3an+3n+1−2nn∈N+．（1）设bn=an−2n3n，证明：数列bn为等差数列，并求数列an的通项公式；（2）求数列an的前n项和Sn．18.如

6、图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，M是棱PD的中点，且PA=AB=AC=2，BC=22．（1）求证：CD⊥平面PAC；（2）求二面角M−AB−C的大小．19.甲、乙两所学校的代表队参加汉字听写大赛，在比赛第二阶段，两队各剩最后两名队员上场，甲队两名队员通过第二阶段比赛的概率分别是0.6和0.8，乙队两名队员通过第二阶段比赛的概率都是0.7，通过了第二阶段比赛的队员，才能进入第三阶段比赛（若某队两个队员都没有通过第二阶段的比赛，则该队进入第三阶段比赛人数为0），所有参赛队员比赛互不影响，其过程、结果都是彼此独立的．（1）求第三阶段比

7、赛，甲、乙两队人数相等的概率；（2）X表示第三阶段比赛甲、乙两队的人数差的绝对值，求X的分布列和数学期望．20.已知定义在1,+∞上的函数fx=x−lnx−2，gx=xlnx+x．（1）求证：fx存在唯一的零点，且零点属于3,4；（2）若k∈Z，且gx>kx−1对任意的x>1恒成立，求k的最大值．21.已知抛物线C:x2=2pyp>0的准线为L，焦点为F，⊙M的圆心在y轴的正半轴上，且与x轴相切，过原点作倾斜角为π6的直线n，交L于点A，交⊙M于另一点B，且∣AO∣=∣OB∣=2．（1）求⊙M和抛物线C的方程；（2）过L上的动点Q作⊙M的切线，切点为