2015年北京一模西城数学文

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1、2015年北京一模西城数学文一、选择题(共8小题;共40分)1.设集合A=0,1,集合B=xx>a,若A∩B=∅,则实数a的取值范围是______A.a≤1B.a≥1C.a≥0D.a≤02.复数z满足z⋅i=3−i,则在复平面内,复数z对应的点位于______A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.关于函数fx=log3−x和gx=3−x,下列说法中正确的是______A.都是奇函数B.都是偶函数C.函数fx的值域为RD.函数gx的值域为R4.执行如图所示的程序框图,若输入的x的值为3,则输出的n的值为______A.4B.5C.6D.75.设P,Q分

2、别为直线x−y=0和圆x2+y−62=2上的点,则PQ的最小值为______A.22B.32C.42D.46.设函数fx的定义域为R,则“∀x∈R,fx+1>fx”是“函数fx为增函数”的______A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是______第8页(共8页)A.476B.233C.152D.78.已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元,而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元,那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是______A.2枝玫瑰的价格高B.3枝

3、康乃馨的价格高C.价格相同D.不确定二、填空题(共6小题;共30分)9.已知向量a=1,−1,b=2,x,若a+2b与a−b平行,则实数x的值是______.10.函数fx=sin2x−cos2x的最小正周期是______.11.在区间−2,1上随机取一个实数x,则x使不等式x−1≤1成立的概率为______.12.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点是抛物线y2=8x的焦点,且双曲线C的离心率为2,那么双曲线C的方程为______;渐近线方程是______.13.设函数fx=x+1x,x>0,−x2−4x,x<0.则ff−1=____

4、__;函数fx的极小值是______.14.某赛事组委会要为获奖者定做某工艺品作为奖品,其中一等奖奖品3件,二等奖奖品6件.制作一等奖和二等奖奖品所用原料完全相同,但工艺不同,故价格有所差异.现有甲、乙两家工厂可以制作奖品(一等奖、二等奖奖品均符合要求),甲厂收费便宜,但原料有限,最多只能制作4件奖品,乙厂原料充足,但收费较贵,其具体收费情况如下表:则组委会定做该工艺品的费用总和最低为______元.三、解答题(共6小题;共78分)15.如图,在△ABC中,∠ABC=90∘,AB=4,BC=3,点D在线段AC上,且AD=4DC.第8页(共8页)(1)求BD的长;(

5、2)求sin∠CBD的值.16.已知等差数列an的前n项和为Sn,且满足a3=2,S5=a7.(1)求数列an的通项公式an及Sn;(2)若a4,a4+m,a4+n(m,n∈N*)成等比数列,求n的最小值.17.如图,在五面体ABCDEF中,四边形ABCD为正方形,EF∥AD,平面ADEF⊥平面ABCD,且BC=2EF,AE=AF,点G是EF的中点.(1)证明:AG⊥CD;(2)若点M在线段AC上,且AMMC=13,求证:GM∥平面ABF;(3)已知空间中有一点O到A,B,C,D,G五点的距离相等,请指出点O的位置.(只需写出结论)18.2014年12月28日开始

6、,北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价.具体如下表.(不考虑公交卡折扣情况)5元,现从那些只乘坐四号线地铁,且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120人,他们乘坐地铁的票价统计如图所示.(1)如果从那些只乘坐四号线地铁,且在陶然亭站出站的乘客中任选1人,试估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率;(2)已知选出的120人中有6名学生,且这6人乘坐地铁的票价情形恰好与按票价从这120人中分层抽样所选的结果相同,现从这6人中随机选出2人,求这2人的票价和恰好为8元的概率;第8页(共8页)(3)小李乘坐地铁从A地到陶然亭的票价是5元,返程时,小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也

7、是5元,假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s公里,试写出s的取值范围.(只需写出结论)19.设点F为椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点,点P1,32在椭圆E上,已知椭圆E的离心率为12.(1)求椭圆E的方程;(2)设过右焦点F的直线l与椭圆相交于A,B两点,记△ABP三条边所在直线的斜率的乘积为t,求t的最大值.20.设n∈N*,函数fx=lnxxn,函数gx=exxn,x∈0,+∞.(1)判断函数fx在区间0,+∞上是否为单调函数,并说明理由;(2)若当n=1时,对任意的x1,x2∈0,+∞,都有fx1≤t≤gx2成立,求实数t的取值

8、范围;(3

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