2014年北京海淀高考二模数学（理）

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1、2014年北京海淀高考二模数学（理）一、选择题（共8小题；共40分）1.sin−150∘的值为 ()A.−12B.12C.−32D.322.已知命题p:“∀a>0，有ea≥1成立”，则¬p为 ()A.∃a≤0，有ea≤1成立B.∃a≤0，有ea≥1成立C.∃a>0，有ea<1成立D.∃a>0，有ea≤1成立3.执行如图所示的程序框图，若输出的S为4，则输入的x应为 ()A.−2B.16C.−2或8D.−2或164.在极坐标系中，圆ρ=2sinθ的圆心到极轴的距离为 ()A.1B.2C.3D.25.已知Px,y是不等式组x+y−1≥0,x−y+3≥0,x≤0表

2、示的平面区域内的一点，A1,2，O为坐标原点，则OA⋅OP的最大值为 ()A.2B.3C.5D.66.一观览车的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面32 m（即OM长），巨轮的半径为30 m，AM=BP=2 m，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈．若点M为吊舱P的初始位置，经过t分钟，该吊舱P距离地面的高度为ht m，则ht= ()A.30sinπ12t−π2+30B.30sinπ6t−π2+30C.30sinπ6t−π2+32D.30sinπ6t−π2第11页（共11页）7.已知等差数列an单调递增且满足a1+a10=4，则a8的取值范围是 ()

3、A.2,4B.−∞,2C.2,+∞D.4,+∞8.已知点E，F分别是正方体ABCD−A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E与C1F上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有 ()A.0条B.1条C.2条D.无数条二、填空题（共6小题；共30分）9.满足不等式x2−x<0的x的取值范围是 ．10.已知双曲线x2a2−y2b2=1的一条渐近线为y=2x，则双曲线的离心率为 ．11.已知ax+15的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是 ．12.已知斜三棱柱的三视图如图所示，该斜三棱柱的体积为 ．13.已知l1，l2是曲线C:y=1x

4、的两条互相平行的切线，则l1与l2的距离的最大值为 ．14.已知集合M=1,2,3,⋯,100，A是集合M的非空子集，把集合A中的各元素之和记作SA．①满足SA=8的集合A的个数为 ；②SA的所有不同取值的个数为 ．三、解答题（共6小题；共78分）15.在锐角△ABC中，a=27sinA且b=21．（1）求B的大小；（2）若a=3c，求c的值．16.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥底面 ABC，AB⊥AC，AC=AB=AA1，E，F分别是棱BC，AA1的中点，G为棱CC1上的一点，且C1F∥平面AEG．第11页（共11页）（1）求CGCC1的值

5、；（2）求证：EG⊥A1C；（3）求二面角A1−AG−E的余弦值．17.某单位有车牌尾号为2的汽车A和尾号为6的汽车B，两车分属于两个独立业务部门．对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日，A车日出车频率0.6，B车日出车频率0.5．该地区汽车限行规定如下：车尾号0 和 51 和 62 和 73 和 84 和 9限行日星期一星期二星期三星期四星期五现将汽车日出车频率理解为日出车概率，且A，B两车出车相互独立．（1）求该单位在星期一恰好出车一台的概率；（2）设X表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X的分布列及其数学期望EX．18.已知函数

6、fx=x−asinx+cosx，x∈0,π．（1）当a=π2时，求函数fx的值域；（2）当a>π2时，求函数fx的单调区间．19.已知椭圆G的离心率为22，其短轴两端点为A0,1，B0,−1．（1）求椭圆G的方程；（2）若C，D是椭圆G上关于y轴对称的两个不同点，直线AC，BD与x轴分别交于点M，N．判断以MN为直径的圆是否过点A，并说明理由．20.对于自然数数组a,b,c，如下定义该数组的极差：三个数的最大值与最小值的差．如果a,b,c的极差d≥1，可实施如下操作：若a，b，c中最大的数唯一，则把最大数减2，其余两个数各增加1；若a，b，c中最大的数有两个

7、，则把最大数各减1，第三个数加2，此为一次操作，操作结果记为f1a,b,c，其极差为d1．若d1≥1，则继续对f1a,b,c实施操作f，⋯，实施n次操作后的结果记为fna,b,c，其极差记为dn．例如：f11,3,3=3,2,2，f21,3,3=1,3,3．（1）若a,b,c=1,3,14，求d1，d2和d2014的值；（2）已知a,b,c的极差为d且a

8、A【解析】提示：ρ=2sinθ可变为ρ2=2ρsin