2014年北京石景山中考二模数学

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2014年北京石景山中考二模数学一、选择题（共8小题；共40分）1.−5的倒数是______A.5B.5C.−5D.−552.某省去年底森林面积为2801700公顷，将2801700用科学记数法表示应为______A.28017×102B.2.8017×106C.28.017×105D.0.28017×1073.四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有圆、矩形、等腰三角形、平行四边形四个图案．现把它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为______A.14B.12C.34D.14.若关于x的一元二次方程x2+m−2x+m+1=0有两个相等的实数根，则m的值是______A.0B.8C.4±2D.0或85.如图，已知△ABC中，∠B=50∘，若沿图中虚线剪去∠B，则∠1+∠2等于______A.130∘B.230∘C.270∘D.310∘6.如图是石景山当代商场地下广场到地面广场的手扶电梯示意图．其中AB，CD分别表示地下广场、地面广场电梯口处的水平线，已知∠ABC=135∘，BC的长约是62 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是______mA.6B.42C.33D.327.下面一组数据是10名学生测试跳绳项目的成绩（单位：个/分钟）．176180184180170176172164186180该组数据的众数、中位数、平均数分别为  A.180，180，178B.180，178，178C.180，178，176.8D.178，180，176.88.在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的位置如图1所示，点A的坐标为−2,0，点B的坐标为0,2，点D的坐标为−3,1．矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动，设运动时间为x0≤x≤3秒，第一象限内的图形面积为y，则下列图象中表示y与x的函数关系的图象大致是______第11页（共11页） A.B.C.D.二、填空题（共4小题；共20分）9.分解因式：ax2−4ay2=______．10.已知二次函数y=x2+bx+8的图象的顶点在y轴右侧，则b的一个值可为______（只需写出符合条件的一个b的值）．11.已知A−1,m与B2,m−3是反比例函数y=kx图象上的两个点，则m的值为______．12.如图，已知直线l:y=x，过点A11,0作x轴的垂线交直线l于点B1，以A1B1为边作正方形A1B1C1A2，过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2A3，…；则点A5的坐标为______，点Cn的坐标为______．三、解答题（共13小题；共169分）第11页（共11页） 13.计算：27+2sin60∘+16−1−12−30．14.解不等式组2x−1≥x+1,x+8≤4x−1.15.已知：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE，求证：AE=BD．16.已知当x=1时，2ax2+bx的值为−2，求当x=2时，ax2+bx的值．17.已知关于x的方程x2−k+2x+2k−1=0．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．18.北京某郊区景点门票价格：成人票每张40元，学生票每张是成人票的半价．小明和小华两家人买了12张门票共花了420元，求两家人的学生和成人各有几人?19.如图1，在△OAB中，∠OAB=90∘，∠AOB=30∘，BA=2．以OB为边，向外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．20.以下是根据北京市国民经济和社会发展统计公报中的相关数据，绘制的北京市生产总值统计图的一部分．第11页（共11页） 请你根据以上信息解答下列问题：（1）根据北京市2009∼2013年生产总值年增长率，请计算出2011年北京市年生产总值是______（结果精确到1百亿元），并补全条形统计图；（2）若从2013年以后，北京市年生产总值都按15%的年增长率增长，则请你估算，若年生产总值不低于2009年的2倍，至少要到______年．（填写年份）（3）在（1）的条件下，2009∼2013这四年间，比上一年增长的生产总值的平均数为多少百亿元?若按此平均数增长，请你预测2014年北京地区的生产总值多少百亿元?21.如图，在△ABC中，∠BCA=90∘，以BC为直径的⊙O交AB于点P，Q是AC的中点．（1）求证：直线PQ与⊙O相切；（2）连接PO并延长交⊙O于点E，交AC的延长线于点F，连接PC，若OC=5，tan∠OPC=12，求EF的长．22.阅读下列材料：小明同学遇到了这样一个问题：如图，M是边长为a的正方形ABCD内一定点，请在图中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），使它们将正方形ABCD的面积分割成面积相等的四个部分．小明是这样思考的：数学课曾经做过一道类似的题目．如图2，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将以点O为顶点的直角绕点O任意旋转，且直角两边与BA，CB相交，与正方形重叠部分（即阴影部分）的面积为一个确定的值．可以类比此问题解决．参考小明同学的想法，解答问题：（1）请你回答图2中重叠部分（即阴影部分）的面积为______；（2）请你在图3中，解决原问题；（3）如图4．在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且b>a，那么在边BC上存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分，请你画出该直线，保留作图痕迹．23.关于x的一元二次方程x2−3m+1x+3m+2=0．第11页（共11页） （1）求证：无论m为何值时，方程总有一个根大于0；（2）若函数y=x2−3m+1x+3m+2与x轴有且只有一个交点，求m的值；（3）在（2）的条件下，将函数y=x2−3m+1x+3m+2的图象沿直线x=2翻折，得到新的函数图象G．在x，y轴上分别有点Pt,0，Q0,2t，其中t>0，当线段PQ与函数图象G只有一个公共点时，求t的值．24.将△ABC绕点A顺时针旋转α得到△ADE，DE的延长线与BC相交于点F，连接AF．（1）如图1，若∠BAC=α=60∘，DF=2BF，请直接写出AF与BF的数量关系；（2）如图2，若∠BAC<α=60∘，DF=3BF，猜想线段AF与BF的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，若∠BAC<α，DF=mBF（m为常数），请直接写出AFBF的值（用含α，m的式子表示）．25.在平面直角坐标系xOy中，射线l:y=3xx≥0．点A是第一象限内一定点，OA=43，射线OA与射线l的夹角为30∘．射线l上有一动点P从点O出发，以每秒23个单位长度的速度沿射线l匀速运动，同时x轴上有一动点Q从点O出发，以相同的速度沿x轴正方向匀速运动，设运动时间为t秒．第11页（共11页） （1）用含t的代数式表示PQ的长；（2）若当P，Q运动某一时刻时，点A恰巧在线段PQ上，求出此时的t值．（3）定义M抛物线：顶点为P，且经过Q点的抛物线叫做“M抛物线”．若当P，Q运动t秒时，将△PQA绕其某边中点旋转180∘后，三个对应顶点恰好都落在“M抛物线”上，求此时t的值．第11页（共11页） 答案第一部分1.D2.B3.C4.D5.B6.A7.C8.D第二部分9.ax+2yx−2y10.b<0（答案不唯一）11.212.16,0；2n,2n−1第三部分13.原式=33+2×32+6−1=43+5．14.2x−1≥x+1, ⋯⋯①x+8≤4x−1. ⋯⋯②解①得x≥2,解②得x≥3.则不等式组的解集是x≥3．15.∵点C是线段AB的中点，∴AC=BC．∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠BCD．在△ACE和△BCD中，AC=BC,∠ACE=∠BCD,CE=CD,∴△ACE≌△BCDSAS∴AE=BD．16.将x=1代人2ax2+bx=−2中，得2a+b=−2．当x=2时，ax2+bx=4a+2b=22a+b=−4．17.（1）∵Δ=k+22−42k−1=k−22+4>0，∴方程恒有两个不相等的实数根．      （2）根据题意得1−k+2+2k−1=0.解得k=2.则原方程为x2−4x+3=0解得另一个根为x=3.①当该直角三角形的两直角边是1，3时，由勾股定理得斜边的长为10，该直角三角形的周长为4+10；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1，3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为22，该直角三角形的周长为4+22．第11页（共11页） 18.设两家人有学生x人，成人y人．根据题意可得x+y=12,20x+40y=420.解得x=3,y=9.答：两家人的学生有3人，成人有9人．19.（1）在Rt△OAB中，D为OB的中点．∴DO=DA．∵等边△OBC，∠AOB=30∘，∴∠DAO=∠DOA=30∘，∠EOA=90∘．∴∠AEO=60∘．∵△OBC为等边三角形，∴∠BCO=∠AEO=60∘，∴BC∥AE．∵∠BAO=∠COA=90∘，∴OC∥AB，∴四边形ABCE是平行四边形．      （2）在Rt△ABO中，∵∠OAB=90∘，∠AOB=30∘，AB=2，∴OA=AB⋅tan60∘=2×3=23．在Rt△OAG中，OA2+OG2=AG2．设OG=x．由折叠可知AG=GC=4−x，可得x2+232=4−x2．解得x=12．∴OG=12．20.（1）163条形统计图如下：      （2）2015      （3）增长的生产总值的平均数195−122÷4=18.25，所以2009-2013这四年间，比上一年增长生产总值的平均18.25百亿元．195+18.25=213.25．预测2014年北京地区的生产总值213.25百亿元．21.（1）连接PO，PC．第11页（共11页） ∵BC是⊙O的直径，∴∠BPC=90∘．则∠APC=90∘．∵CQ=AQ，∴PQ=12AC=CQ．∴∠CPQ=∠PCQ．∵OP=OC，∴∠OPC=∠OCP，∴∠OPC+∠CPQ=∠OCP+∠PCQ=∠BCA=90∘，∴直线PQ与⊙O相切．      （2）连接CE．∵EP是直径，∴∠ECP=90∘．∠ECO+∠OCP=90∘．∵∠ECO+∠ECF=90∘，∴∠ECF=∠OCP=∠OPC，∠F=∠F，△EFC∽△CFP．∴EFCF=CFPF．Rt△ECP，tan∠EPC=12，∴CECP=12．EFCF=CFPF=12，∴CF=2EF，PF=2CF=4EF，∴PE=3EF=2OC=25，∴EF=253．22.（1）14a2      （2）如图所示．      （3）如图所示．BQ=CD=b时，直线PQ将四边形ABCD面积二等分．23.（1）x−1x−3m+2=0，∴x1=1，x2=3m+2．第11页（共11页） ∵x1=1>0．∴无论m为何值时，方程总有一个根大于0．      （2）∵若函数y=x2−3m+1x+3m+2与x轴有且只有一个交点，∴Δ=9m+12−43m+2=0，∴m=−13．      （3）当m=−13时，函数y=x2−2x+1=x−12，依题意，沿直线x=2翻折后的解析式为y=x−32=x2−6x+9，图象G如图所示．y=x−32=x2−6x+9与x，y轴的交点分别为3,0，0,9．设直线PQ的解析式为y=kx+bk≠0，由Pt,0，Q0,2t．∴直线PQ的解析式为y=−2x+2t．①当线段PQ与函数图象G相切时，−2x+2t=x2−6x+9，Δ=16−49−2t=0，∴t=52．②当线段PQ经过点0,9时，2t=9．∴t=92．综上当t=52或t>92时，线段PQ与函数图象G只有一个公共点．24.（1）AF=BF．      （2）猜想：AF=2BF．证明如下：在DF上截取DG=BF，连接AG（如图）．AD=AB，∠ADG=∠ABF．∴△ADG≌△ABF．∴AG=AF，∠DAG=∠BAF．∴∠GAF=∠GAB+∠BAF=∠GAB+∠DAG=∠DAB=60∘．∴△GAF是等边三角形．∵DF=3BF．∴AF=GF=DF−DG=DF−BF=2BF．      （3）AFBF=m−12sinα2．25.（1）l解析式为y=3xx≥0，∴∠POQ=60∘．∵P，Q运动速度相同．∴OP=OQ=23t．∴△OPQ是等边三角形，∴PQ=23t．      （2）A6,23，P3t,3t，Q23t,0．P3t,3t，Q23t,0，直线PQ解析式为y=−3x+6t．由于A，P，Q三点共线，将A6,23代入得23=−3×6+6t．第11页（共11页） ∴t=433（秒）．      （3）P，Q，O三点P3t,3t，Q23t,0，O0,0．设抛物线M的解析式为y=axx−23t．将P3t,3t代入可得a=−1t．∴抛物线的解析式为y=−1tx2+23x．显然：△PQA绕PQ中点旋转180∘后，三个对应顶点在抛物线上．设A的对应点为Aʹ，∴四边形PAQAʹ是平行四边形．∵P3t,3t，Q23t,0，A6,23．∴Aʹ33t−6,3t−23，将Aʹ33t−6,3t−23代入抛物线y=−1tx2+23x．∴t=233或t=323．∴当经过t=233秒或t=323秒时，△PQA绕PQ中点旋转180∘后，三个对应顶点在“M”抛物线上．第11页（共11页）