2014年北京朝阳高考一模数学（理）

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1、2014年北京朝阳高考一模数学（理）一、选择题（共8小题；共40分）1.复数1+i2−i在复平面内对应的点位于______A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若集合A=x3+2x−x2>0，集合B=x2x<2，则A∩B等于  A.1,3B.−∞,−1C.−1,1D.−3,13.已知平面向量a，b满足：a=b=2，a+2b⋅a−b=−2，则a与b的夹角为______A.π6B.π3C.2π3D.5π64.如图，设区域D=x,y0≤x≤1,0≤y≤1，向区域D内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落入到阴影区域M=x,y0≤x≤1,0≤y≤x3的概率为__

2、____A.14B.13C.25D.275.在△ABC中，A=π4，BC=2，则“AC=3”是“B=π3”的______A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.执行如图所示的程序框图，输出的S值为______A.12B.−12C.10D.−107.已知函数fx=sinxx2+1．下列命题：①函数fx的图象关于原点对称；第8页（共8页）②函数fx是周期函数；③当x=π2时，函数fx取最大值；④函数fx的图象与函数y=1x的图象没有公共点，其中正确命题的序号是______A.①③B.②③C.①④D.②④8.直线y=x+m与圆x2+y2=16交于不同的

3、两点M，N，且MN≥3OM+ON，其中O是坐标原点，则实数m的取值范围是______A.−22,−2∪2,22B.−42,−22∪22,42C.−2,2D.−22,22二、填空题（共6小题；共30分）9.在各项均为正数的等比数列an中，a1=2，a2+a3=12，则该数列的前4项和为______．10.在极坐标系中，A为曲线ρ=2cosθ上的点，B为曲线ρcosθ=4上的点，则线段AB长度的最小值是______．11.某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥的体积为______；表面积为______．12.双曲线x2−y2b2=1b>0的一个焦点到其渐近线的距离是2，则b=_____

4、_；此双曲线的离心率为______．13.有标号分别为1、2、3的红色卡片3张，标号分别为1、2、3的蓝色卡片3张．现将全部的6张卡片放在2行3列的格内（如图）．若颜色相同的卡片在同一行，则不同的放法种数为______．（用数字作答）14.如图，在四棱锥S−ABCD中，SB⊥底面 ABCD．底面ABCD为梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=1,AD=3，CD=2．若点E是线段AD上的动点，则满足∠SEC=90∘的点E的个数是______．第8页（共8页）三、解答题（共6小题；共78分）15.已知函数fx=2sinπ−x⋅cosx+sin2x−cos2x，x∈R．（1）求fπ2的值及

5、函数fx的最小正周期；（2）求函数fx在0,π上的单调减区间．16.某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：4人．由于部分数据丢失，只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为25．（1）求a，b的值；（2）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率；（3）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．17.如图，四棱锥P−AB

6、CD的底面为正方形，侧面PAD⊥ 底面 ABCD．△PAD为等腰直角三角形，且PA⊥AD．E，F分别为底边AB和侧棱PC的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：EF⊥平面PCD；（3）求二面角E−PD−C的余弦值．18.已知函数fx=12ax2−lnx，a∈R．（1）求函数fx的单调区间；（2）若函数fx在区间1,e的最小值为1，求a的值．19.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0经过点1,32，离心率为32．（1）求椭圆C的方程；第8页（共8页）（2）直线y=kx−1k≠0与椭圆C交于A，B两点，点M是椭圆C的右顶点．直线AM与直线BM分别与y轴交于点P，Q，试

7、问以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点?若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．20.从1，2，3，⋯，n这n个数中取m（m,n∈N*，3≤m≤n）个数组成递增的等差数列，所有可能的递增等差数列的个数记为fn,m．（1）当n=5，m=3时，写出所有可能的递增等差数列及f5,3的值；（2）求f100,10；（3）求证：fn,m>n−mn+12m−1．第8页（共8页）答案第一部分1.A2.C3.B4.A5.B6.C7.C8.D第二部分9.3010.211.13；2+312