2012年北京朝阳高考一模数学（理）

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1、2012年北京朝阳高考一模数学（理）一、选择题（共8小题；共40分）1.复数10i1−2i=______A.−4+2iB.4−2iC.2−4iD.2+4i2.已知平面向量a,b满足a⋅a+b=3，且a=2，b=1，则向量a与b的夹角为______A.π6B.π3C.2π3D.5π63.已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2an−1n∈N*，则a5=______A.−16B.16C.31D.324.已知平面α，直线a，b，l，且a⊂α，b⊂α，则“l⊥a且l⊥b”是“l⊥α”的______A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.有10

2、件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定．技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是______A.16B.24C.32D.486.已知函数fx是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈ R，都有fx+2=fx．当0≤x≤1时，fx=x2．若直线y=x+a与函数y=fx的图象在0,2内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是______A.0B.0或−12C.−14或−12D.0或−147.某工厂生产的A种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件．从第二年

3、开始，商场对A种产品征收销售额的x%的管理费（即销售100元要征收x元），于是该产品定价每件比第一年增加了70⋅x%1−x%元，预计年销售量减少x万件，要使第二年商场在A种产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x的最大值是______A.2B.6.5C.8.8D.108.已知点集A=x,yx2+y2−4x−8y+16≤0，B=x,yy≥x−m+4,m是常数，点集A所表示的平面区域与点集B所表示的平面区域的边界的交点为M，N．若点Dm,4在点集A所表示的平面区域内（不在边界上），则△DMN的面积的最大值是______A.1B.2C.22D.4二、填空题（共6小题；共30分）

4、9.已知双曲线的方程为x23−y2=1，则此双曲线的离心率为______，其焦点到渐近线的距离为______．10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．第8页（共8页）11.执行如图所示的程序框图，若输入k的值是4，则输出S的值是______．12.在极坐标系中，曲线ρ=23sinθ和ρcosθ=1相交于点A，B，则线段AB的中点E到极点的距离是______．13.已知函数fx=12x+34,x≥2,log2x,0

5、．一个圆心为Q，半径为14的圆在△ABC内，沿着△ABC的边滚动一周回到原位．在滚动过程中，圆Q至少与△ABC的一边相切，则点Q到△ABC顶点的最短距离是______，点Q的运动轨迹的周长是______．三、解答题（共6小题；共78分）15.已知函数fx=cosx−π4．（1）若fα=7210，求sin2α的值；（2）设gx=fx⋅fx+π2，求函数gx在区间−π6,π3上的最大值和最小值．16.某次有1000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀．第8页（共8页）（1）下表是这次考试成绩的频数分布表，求正整数a，b的值；区间75,8

6、080,8585,9090,9595,100人数50a350300b（2）现在要用分层抽样的方法从这1000人中抽取40人的成绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数；（3）在（II）中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为X，求X的分布列与数学期望．17.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD=90∘，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，EB=3，EF=1，BC=13，且M是BD的中点．（1）求证：EM∥平面ADF；（2）求二面角D−AF−B的大小；（3）在线段EB上是否存在一点P，使得CP与AF所成的角为3

7、0∘?若存在，求出BP的长度；若不存在，请说明理由．18.设函数fx=eaxx2+1,a∈R．（1）当a=1时，求曲线y=fx在点0,f0处的切线方程；（2）求函数fx单调区间．19.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的两个焦点分别为F1−2,0，F22,0．点M1,0与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点N的坐标为3,2，点P的坐标为m,nm≠3．过点M任作直线l与椭圆C相交于A，B两点，设直线AN，NP，BN的斜率分别为k1，k2，k3，若k1+k3=2k2，试求m，n