2013年北京海淀高考二模数学（理）

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1、2013年北京海淀高考二模数学（理）一、选择题（共8小题；共40分）1.集合A=x∣x−1x+2≤0，B=x∣x<0，则A∪B= ()A.−∞,0B.−∞,1C.1,2D.1,+∞2.已知数列an是公比为q的等比数列，且a1⋅a3=4，a4=8，则a1+q的值为 ()A.3B.2C.3或−2D.3或−33.如图，在边长为a的正方形内有不规则图形Ω，向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m，n，则图形Ω面积的估计值为 ()A.manB.namC.ma2nD.na2m4.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体

2、的表面积为 ()A.180B.240C.276D.3005.在四边形ABCD中，"∃λ∈R，使得AB=λDC，AD=λBC"是"四边形ABCD为平行四边形"的 ()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为 ()A.32B.36C.42D.487.双曲线C的左右焦点分别为F1，F2，且F2恰好为抛物线y2=4x的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1

3、为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为 ()A.2B.1+2C.1+3D.2+3第9页（共9页）8.若数列an满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有an+T=an成立，则称数列an为周期数列，周期为T．已知数列an满足a1=m（m>0），an+1=an−1,an>11an,01，使得an是周期为T的数列D.∃m∈Q且m≥2，使得数列an是周期数列二、填空题（共6小题；共30分）9.

4、在极坐标系中，极点到直线ρcosθ=2的距离为 ．10.已知a=ln12，b=sin12，c=2−12，则a，b，c按照从大到小排列为 ．11.直线l1过点−2,0且倾斜角为30∘，直线l2过点2,0且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为 ．12.在△ABC中，∠A=30∘，∠B=45∘，a=2，则b= ；S△ABC= ．13.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则DC⋅AP的取值范围是 ．14.在平面直角坐标系中，动点Px,y到两条坐标轴的距离之和等于它到点1,1的距离，记点P的

5、轨迹为曲线W．（1）给出下列三个结论：①曲线W关于原点对称；②曲线W关于直线y=x对称；③曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于12；其中，所有正确结论的序号是 ．（2）曲线W上的点到原点距离的最小值是 ．三、解答题（共6小题；共78分）15.已知函数fx=1−cos2x2sinx−π4．（1）求函数fx的定义域；（2）求函数fx的单调递增区间．16.福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：①该福利彩票中奖率为50%；②每张中奖彩票的

6、中奖金额有5元，50元和150元三种；③顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p，获得50元奖金的概率为2%．（1）假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率；（2）为了能够筹得资金资助福利事业，求p的取值范围．第9页（共9页）17.如图1，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90∘，∠CAB=30∘，BC=2，AD=4，把△DAC沿对角线AC折起到△PAC的位置，如图2所示，使得点P在平面ABC上的正投影H恰好落在线段AC上，连接PB，点E，F分别为线段PA，AB的中点．（1）求证：平面EFH∥

7、平面PBC；（2）求直线HE与平面PHB所成角的正弦值；（3）在棱PA上是否存在一点M，使得M到P，H，A，F四点的距离相等?请说明理由．18.已知函数fx=ex，Aa,0为一定点，直线x=t（t≠a）分别与fx的图象和x轴交于点M，N，记△AMN的面积为St．（1）当a=0时，求函数St的单调区间；（2）当a>2时，若∃t0∈0,2，使得St0≥e，求a的取值范围．19.已知椭圆M:x2a2+y2b2=1（a>b>0）的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60∘的菱形的四个顶点．（1）求椭圆M的方程；（2）直线l与椭圆M交于A，

8、B两点，且线段AB的垂直平分线经过点0,−12，求△AOB（O为原点）面积的最大值．20.设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．（1）数表A如表1所示，若经过两次“操