2011年北京市东城区高三下统一练习（二）

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1、2011年北京市东城区高三下统一练习（二）一、选择题（共7小题；共35分）1.若复数z=x+x2−xii（x∈R）为纯虚数，则x等于______A.0B.1C.−1D.0或12.给出下列三个命题：①∀x∈R，x2>0；②∃x0∈R，使得x02≤x0成立；③对于集合M，N，若x∈M∩N，则x∈M且x∈N．其中真命题的个数是______A.0B.1C.2D.33.沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为______A.B.C.D.4.极坐标方程sin2θ=0（ρ≥0）表示的图形是______A.两条直线B.两

2、条射线C.圆D.一条直线和一条射线5.已知正项数列an中，a1=1，a2=2，2an2=an+12+an−12n≥2，则a6等于______A.16B.8C.22D.46.已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M，N两点，O为坐标原点．若OM⊥ON，则双曲线的离心率为______A.−1+32B.1+32C.−1+52D.1+527.△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2OA+AB+AC=0，OA=AB，则CA⋅CB等于______A.32B.3C.3D.23第7页（共7页）二、填

3、空题（共6小题；共30分）8.x2+1x5的展开式中，x4的系数为______．（用数字作答）9.某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表，则调查小组的总人数为______；若从调查小组中的公务员和教师中随机选2人撰写调查报告，则其中恰好有1人来自公务员的概率为______．相关人员数抽取人数公务员32x教师48y自由职业者64410.在△ABC中，若∠B=π4，b=2a，则∠C=______．11.如图，BC是半径为2的圆O的直径，点P在BC

4、的延长线上，PA是圆O的切线，点A在直径BC上的射影是OC的中点，则∠ABP=______；PB⋅PC=______．12.已知点P2,t在不等式组x−y−4≤0x+y−3≤0表示的平面区域内，则点P2,t到直线3x+4y+10=0距离的最大值为______．13.对任意x∈R，函数fx满足fx+1=fx−fx2+12，设an=fn2−fn，数列an的前15项的和为−3116，则f15=______．三、解答题（共6小题；共78分）14.已知sinA+π4=7210,A∈π4,π2．（1）求cosA的值；（2）求函数fx=cos2x

5、+52sinAsinx的值域．15.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=5，D，E分别为BC，BB1的中点，四边形B1BCC1是边长为6的正方形．（1）求证：A1B∥平面AC1D；第7页（共7页）（2）求证：CE⊥平面AC1D；（3）求二面角C−AC1−D的余弦值．16.甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为pp>12，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59．（1）求p的值；（2）设ξ表示比赛停止时比赛的局

6、数，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．17.已知函数fx=x2−alnxa∈R．（1）若a=2，求证：fx在1,+∞上是增函数；（2）求fx在1,e上的最小值．18.在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F0,14的距离比点P到x轴的距离大14，设动点P的轨迹为曲线C，直线l:y=kx+1交曲线C于A，B两点，M是线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交曲线C于点N．（1）求曲线C的方程；（2）证明：曲线C在点N处的切线与AB平行；（3）若曲线C上存在关于直线l对称的两点，求k的取值范围．19.在单调递增数列an中，a1=2，不等式n

7、+1an≥na2n对任意n∈N*都成立．（1）求a2的取值范围；（2）判断数列an能否为等比数列?说明理由；（3）设bn=1+11+12⋯1+12n，cn=61−12n，求证：对任意的n∈N*，bn−cnan−12≥0．四、选择题（共1小题；共5分）20.已知函数fx=x+1,x≤0,log2x,x>0,则函数y=ffx+1的零点个数是______A.4B.3C.2D.1第7页（共7页）答案第一部分1.B2.C3.B4.A5.D6.D7.C第二部分8.109.144；3510.7π1211.30∘；1212.413.34第三部分14

8、.（1）因为π4