2010年北京西城区高考一模试题：数学（文）

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1、2010年北京西城区高考一模试题：数学（文）一、选择题（共4小题；共20分）1.若02nB.12m<12nC.log2m>log2nD.log12m>log12n2.下面四个点中，在平面区域y−x内的点是______A.0,0B.0,2C.−3,2D.−2,03.设等差数列an的前n项和为Sn，a2+a4=6，则S5等于______A.10B.12C.15D.304.如图，平面α⊥平面β，α∩β=l，A、C是α内不同的两点，B、D是β内不同的两点，且A、B、C、D∉直线l，M、N

2、分别是线段AB、CD的中点．下列判断正确的是______A.当∣CD∣=2∣AB∣时，M、N两点不可能重合B.当∣CD∣=2∣AB∣时，线段AB、CD在平面α上正投影的长度不可能相等C.M,N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交D.当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交二、填空题（共3小题；共15分）5.在边长为1的正方形ABCD内任取一点P，则点P到点A的距离小于1的概率为______．6.已知a=10，b=8，且a和b的夹角为θ=120∘，则a+b=______．7.在△ABC中，C为钝角，ABBC=32，si

3、nA=13，则角C=______，sinB=______．三、解答题（共3小题；共39分）8.已知α为锐角，且tanπ4+α=2．（1）求tanα的值；（2）求sin2αcosα−sinαcos2α的值．9.椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为32，且过2,0点．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：y=x+m与椭圆C交于A,B两点，O为坐标原点，若△OAB为直角三角形，求m的值．10.已知函数fx=x2−mx+m⋅exm∈R．第6页（共6页）（1）若函数fx存在零点，求实数m的取值范围；（2）当m<0时，求函数fx的单调区间

4、；并确定此时fx是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．四、选择题（共4小题；共20分）11.设集合P=xx>1，Q=xxx−1>0，下列结论正确的是______A.P=QB.P∪Q=RC.P⊆QD.P⊇Q12.甲乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，x1，x2分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，s1，s2分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有______甲乙908655413557122A.x1>x2,s1s2

5、13.阅读题中程序框图，运行相应的程序，输出的结果为______A.1321B.2113C.813D.13814.已知双曲线x2−y23=1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则PA1⋅PF2的最小值为______A.−2B.−8116C.1D.0五、填空题（共3小题；共15分）15.i是虚数单位，11+i+i=______．16.已知fx=x2−x,x≤0,1+2lgx,x>0,若fx=2，则x=______．17.设函数fx的定义域为D，若存在非零数l使得对于任意x∈MM⊆D，有x+l∈D，且fx+l≥fx，则称fx为M

6、上的l高调函数．现给出下列命题：①函数fx=12x为R上的1高调函数；②函数fx=sin2x为R上的π高调函数；第6页（共6页）③如果定义域为−1,+∞的函数fx=x2为−1,+∞上m高调函数，那么实数m的取值范围是2,+∞．其中正确的命题是______．（写出所有正确命题的序号）六、解答题（共2小题；共26分）18.如图1，在三棱锥P−ABC中，PA⊥ 平面 ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．（1）证明：AD⊥ 平面 PBC；（2）求三棱锥D−ABC的体积；（3）在∠ACB的平分线上确定一点

7、Q，使得PQ∥ 平面 ABD，并求此时PQ的长．19.一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1，2，3，4．现从盒子中随机抽取卡片．（1）若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率；（2）若第一次抽1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字3的概率．第6页（共6页）答案第一部分1.D2.B3.C4.C第二部分5.π46.2217.150∘；22−36第三部分8.（1）因为tanπ4+α=1+tanα1−tanα，所以1+tanα1−tanα=2,即 1+tanα=2−2tanα.解得tanα=

8、13．    （2）sin2αcosα−sinαcos2α=2sinαcos2α−sinαcos2α=sinα2cos2α−1cos2α=sinαcos2αcos2α=sinα.