含排列数与二项式系数的线性微分方程

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1、含排列数与二项式系数的线性微分方程第23卷第3期2005年6月青海大学(自然科学版)JournalofQirch~University(NatureScience)Vo1.23N0.3Jim.2005含排列数与二项式系数的线性微分方程孙长军(连云港职业技术学院,江苏连云港222OO6)摘要:通过将含有排列数与二项式系数的线性微分方程化为可逐次积分的微分方程,从而得到此类方程的解法,对定理进行了证明,并通过实例介绍了它的应用.关键词:排列数;二项式系数;逐次积分;线性微分方程中图分类号:0175.6文献标识码:A文章编号:l(X)

2、6—8996(2005)03—0069—03SolutionofthelineardifferentialequationcontainingarrangementnumberandbinomialcoefficientSUNChang——jun(LianyungangTechnicalCollege,Lianytmgang222006,China)Abstract:Bywansfonningthelineardifferentialequationwitharrangementnumberandbinomialcoeffi—c

3、ientsintothelineardifferentialequationofsuccessiveintegral,thetheoryandmethodforthegeneralSO—lufionofthiskindofequationaredetermined.Thetheoremobtainedinthispaperisprovedstrictlyandtheapplicationisintroducedthroughexamples.Keywords:arrangementnumber;coefficientofbino

4、mial;succesiveintegral;lineardifferentialequafion笔者曾着文解决了线性微分方程xy''+ny一'=厂()的解法问题[川,即将该方程化为()n)=/(),然后逐次积分得到该方程的通解为:Y=1儿l[.??[I厂()dx]..?]dx]dx(积分符号共凡个).现将xy'+ny'=厂()进行推广,研究昱c一iy(n=厂()这类方程的解法.1定理与证明微分方程c一iy'一=厂()是凡阶线性微分方程(约定),(.)=Y,c(i=1,2,…,n)为二项式系数,为排列数,并约定当>m时,=

5、0,po=1),亦即方程:①当m≥几时,方程为:''+plⅢ*-1m一Y一'+p2C2r,Xm-2Yn一2'+…???+PGm—),(n一)+……+Pmnntrt一=()②当rn<凡时,由于约定当i>m时,=0,po=1方程为:x'y''+Plmcm一Y'+p2Ⅲ.-,2,m-2Yn一2'+……+Pmiim—iy(n一)+……+Pcn—m)=,(),该方程用求和符号可写为c一'=(),由于约定当i>m时=0,po=1,方程仍然可以写为:"rii一'一)=厂()所以m与n不论谁大谁小,①,②两种情况都统一用.芝c

6、一iy(n一)=厂()来表示.引理∑i乙i一iy(一)=()'n收稿日期:2004—10—19作者简介:孙长军(1963一),男,江苏东海人,副教授.研究方向:线性微分方程.70青海大学第23卷证明用数学归纳法证之.1)当n=l时,左边=P+P11.x,mI1Y(.)=xmy+_.Y,右边=()=一Y+,左边=右边,所以n=1时等式成立.2)假设n=k等式成立,即c一'一)=()')则当n=+1时,对上式两边求导数得:妻P(m—)c一卜),+妻Pc一')=()'k+1)由(m—)=P得:LL妻P0cI1),一+妻c一一1)=()

7、'+)k+lPcm一'一f+1)+垄Pcm—iy(k-i+1):(,)'+1)耋Pc一一"D+Pc铷一Y∞+壹c一'一+)+p~c~~day(k+1):(,)'+1)注意:=co+1,Cl=:1,c+cI=c+1可得:+1+1耋(c+c1)一'…)+t-,k++11一(+1)),(0):(y)'+1)+1+1c+1一'"卜+Pck+1m+1)),(0):()'…)即cl+1一("卜)=()'k+1)亦即当n=k+1时等式成立.综合1),2)可得对任意自然数n等式成立.定理n阶线性微分方程c一'n=)的通解为:Y=一I[I[…[I

8、厂()d]...]d]d(积分符号共儿个).证明由引理可知原方程可化为:()(")=)然后通过逐次积分即可得证.注:定理中的m与n不论谁大谁小定理都成立.①当mn时,方程为:'n+p1I",1m一),(n一1)+p2c2.,xm-2y'一+…+c一iy'n一+…

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1、含排列数与二项式系数的线性微分方程第23卷第3期2005年6月青海大学(自然科学版)JournalofQirch~University(NatureScience)Vo1.23N0.3Jim.2005含排列数与二项式系数的线性微分方程孙长军(连云港职业技术学院,江苏连云港222OO6)摘要:通过将含有排列数与二项式系数的线性微分方程化为可逐次积分的微分方程,从而得到此类方程的解法,对定理进行了证明,并通过实例介绍了它的应用.关键词:排列数;二项式系数;逐次积分;线性微分方程中图分类号:0175.6文献标识码:A文章编号:l(X)

2、6—8996(2005)03—0069—03SolutionofthelineardifferentialequationcontainingarrangementnumberandbinomialcoefficientSUNChang——jun(LianyungangTechnicalCollege,Lianytmgang222006,China)Abstract:Bywansfonningthelineardifferentialequationwitharrangementnumberandbinomialcoeffi—c

3、ientsintothelineardifferentialequationofsuccessiveintegral,thetheoryandmethodforthegeneralSO—lufionofthiskindofequationaredetermined.Thetheoremobtainedinthispaperisprovedstrictlyandtheapplicationisintroducedthroughexamples.Keywords:arrangementnumber;coefficientofbino

4、mial;succesiveintegral;lineardifferentialequafion笔者曾着文解决了线性微分方程xy''+ny一'=厂()的解法问题[川,即将该方程化为()n)=/(),然后逐次积分得到该方程的通解为:Y=1儿l[.??[I厂()dx]..?]dx]dx(积分符号共凡个).现将xy'+ny'=厂()进行推广,研究昱c一iy(n=厂()这类方程的解法.1定理与证明微分方程c一iy'一=厂()是凡阶线性微分方程(约定),(.)=Y,c(i=1,2,…,n)为二项式系数,为排列数,并约定当>m时,=

5、0,po=1),亦即方程:①当m≥几时,方程为:''+plⅢ*-1m一Y一'+p2C2r,Xm-2Yn一2'+…???+PGm—),(n一)+……+Pmnntrt一=()②当rn<凡时,由于约定当i>m时,=0,po=1方程为:x'y''+Plmcm一Y'+p2Ⅲ.-,2,m-2Yn一2'+……+Pmiim—iy(n一)+……+Pcn—m)=,(),该方程用求和符号可写为c一'=(),由于约定当i>m时=0,po=1,方程仍然可以写为:"rii一'一)=厂()所以m与n不论谁大谁小,①,②两种情况都统一用.芝c

6、一iy(n一)=厂()来表示.引理∑i乙i一iy(一)=()'n收稿日期:2004—10—19作者简介:孙长军(1963一),男,江苏东海人,副教授.研究方向:线性微分方程.70青海大学第23卷证明用数学归纳法证之.1)当n=l时,左边=P+P11.x,mI1Y(.)=xmy+_.Y,右边=()=一Y+,左边=右边,所以n=1时等式成立.2)假设n=k等式成立,即c一'一)=()')则当n=+1时,对上式两边求导数得:妻P(m—)c一卜),+妻Pc一')=()'k+1)由(m—)=P得:LL妻P0cI1),一+妻c一一1)=()

7、'+)k+lPcm一'一f+1)+垄Pcm—iy(k-i+1):(,)'+1)耋Pc一一"D+Pc铷一Y∞+壹c一'一+)+p~c~~day(k+1):(,)'+1)注意:=co+1,Cl=:1,c+cI=c+1可得:+1+1耋(c+c1)一'…)+t-,k++11一(+1)),(0):(y)'+1)+1+1c+1一'"卜+Pck+1m+1)),(0):()'…)即cl+1一("卜)=()'k+1)亦即当n=k+1时等式成立.综合1),2)可得对任意自然数n等式成立.定理n阶线性微分方程c一'n=)的通解为:Y=一I[I[…[I

8、厂()d]...]d]d(积分符号共儿个).证明由引理可知原方程可化为:()(")=)然后通过逐次积分即可得证.注:定理中的m与n不论谁大谁小定理都成立.①当mn时,方程为:'n+p1I",1m一),(n一1)+p2c2.,xm-2y'一+…+c一iy'n一+…

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