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1、课时提升作业十二数学归纳法一、选择题(每小题6分,共18分)1.设f(n)=+++…+(n∈N+),在利用数学归纳法证明时,从n=k到n=k+1需添的项为( )A.B.C.+D.-【解析】选D.因为f(k)=++…+所以f(k+1)=++…+++故需添的项为+-=-.【误区警示】本题易错选C.忽略了n=k+1时少了一项.【拓展延伸】数学归纳法解决项数问题数学归纳法证明中的项数问题,重点看从n=k到n=k+1时项数的变化规律,多了哪些项,少了哪些项,把握好项的规律,利用数列知识解决.2.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,第二步归纳假设应写成
2、 ( )A.假设n=2k+1(k∈N+)正确,再推n=2k+3正确B.假设n=2k-1(k∈N+)正确,再推n=2k+1正确C.假设n=k(k∈N+)正确,再推n=k+1正确D.假设n=k(k≥1)正确,再推n=k+2正确【解析】选B.首先要注意n为奇数,其次还要使n=2k-1能取到1.3.设平面内有k条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,设k条直线的交点个数为f(k),则f(k+1)与f(k)的关系是 ( )A.f(k+1)=f(k)+k+1B.f(k+1)=f(k)+k-1C.f(k+1)=f(k)+kD.f(k+1)=f(k)+k+2【解析】选C.当n
3、=k+1时,任取其中1条直线,记为l,则除l外的其他k条直线的交点的个数为f(k),因为已知任何两条直线不平行,所以直线l必与平面内其他k条直线都相交(有k个交点);又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上面的k个交点两两不相同,且与平面内其他的f(k)个交点也两两不相同,从而平面内交点的个数是f(k)+k=f(k+1).二、填空题(每小题6分,共12分)4.(2016·佛山高二检测)已知a1=,=,猜想an=__________.【解析】由a1=,=,得a2=,a3=,a4=,猜想得an=.答案:5.(2016·杭州高二检测)用数学归纳法证明:“当n为正偶数时,xn
4、-yn能被x+y整除”时,第一步应验证n=______时,命题成立;第二步归纳假设成立应写成__________.【解析】因为n为正偶数,第一步应验证n=2时,命题成立;第二步归纳假设成立应写成“假设当n=k(k为偶数且k≥2)时xk-yk能被x+y整除”.答案:2 假设当n=k(k为偶数且k≥2)时xk-yk能被x+y整除三、解答题(每小题10分,共30分)6.用数学归纳法证明:1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)=(n∈N+).【证明】(1)当n=1时,左边=1×2×3=6,右边==6,等式成立.(2)假设当n=k时成立.即1×2×3+2×3×4+…
5、+k(k+1)(k+2)=,那么当n=k+1时,1×2×3+2×3×4+…+k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)(k+3)=+(k+1)(k+2)·(k+3)=(k+1)(k+2)(k+3)(k+4).即当n=k+1时等式成立.综合上述(1)(2)得,对一切正整数n,等式都成立.7.(2016·福州高二检测)证明:凸n边形的对角线的条数为f(n)=n(n-3)(n≥4,n∈N*).【证明】(1)当n=4时,四边形有两条对角线,f(4)=×4×(4-3)=2,命题成立.(2)假设当n=k(k≥4,n∈N+)时命题成立,即f(k)=k(k-3),那么,当n=k+1
6、时,增加一个顶点,凸多边形的对角线增加k-1条,则f(k+1)=k(k-3)+k-1=(k2-k-2)=(k+1)(k-2)=(k+1)[(k+1)-3],即当n=k+1时命题也成立.根据(1)(2),可知命题对任意的n≥4,n∈N+都成立.8.用数学归纳法证明凸n(n≥3,n∈N+)边形的内角和f(n)=(n-2)π.【证明】①三角形的内角和是π,当n=3时,f(3)=π=(3-2)π,命题成立.②假设n=k(k≥3)时,命题成立,即f(k)=(k-2)π成立.当n=k+1时,设A1,A2,…,Ak+1是凸k+1边形的顶点,连结A1Ak,它把这个凸k+1边形分成凸k
7、边形A1A2…Ak和三角形AkAk+1A1,并且凸k+1边形的内角和等于凸k边形与三角形的内角和的和,即(k-2)π+π=(k-1)π=[(k+1)-2]π,命题也是成立的.据①②可知结论成立.一、选择题(每小题5分,共10分)1.某个命题与正整数n有关,若n=k(k∈N*)时该命题成立,那么可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知当n=5时该命题不成立,那么可推得 ( )A.当n=6时该命题不成立B.当n=6时该命题成立C.当n=4时该命题不成立D.当n=4时该命题成立【解析】选C.因为若n=k(k∈N*)时该命题成立,那么可推得当n=k+1时该
