小专题(六)　构造全等三角形的方法技巧.doc

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1、小专题(六)　构造全等三角形的方法技巧方法1　利用“角平分线”构造全等三角形【方法归纳】　因角平分线本身已经具备全等的三个条件中的两个(角相等和公共边相等)，故在处理角平分线问题时，常作以下辅助线构造全等三角形：(1)在角的两边截取两条相等的线段；(2)过角平分线上一点作角两边的垂线．1．如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC＝AB＋CD.证明：在BC上截取BF＝AB，连接EF.∵∠ABC、∠BCD的平分线交AD于点E，∴∠ABE＝∠FBE，∠BCE＝∠DCE，在△ABE和△FBE中，

2、∴△ABE≌△FBE.∴∠BAE＝∠BFE.∵AB∥CD，∴∠BAE＋∠CDE＝180°.∴∠BFE＋∠CDE＝180°.∵∠BFE＋∠CFE＝180°，∴∠CFE＝∠CDE.在△FCE和△DCE中，∴△FCE≌△DCE.∴CF＝CD.∴BC＝BF＋CF＝AB＋CD.2．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D，求证：PC＝PD.证明：过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F.∴∠PEC＝∠PFD＝90°.∵OM是∠AOB的平分线．∴PE＝

3、PF.∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，∴∠PCE＋∠PDO＝360°－90°－90°＝180°.而∠PDO＋∠PDF＝180°，∴∠PCE＝∠PDF.在△PCE和△PDF中，∴△PCE≌△PDF(AAS)．∴PC＝PD.方法2　利用“截长补短法”构造全等三角形【方法归纳】　截长补短法的具体做法：在某一条线段上截取一条线段与特定线段相等，或将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种方法适用于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．3．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B，试判断

4、AB，AC，CD三者之间的数量关系，并说明理由．(想一想，你会几种方法)解：AB＝AC＋CD.理由：方法1：在AB上截取AE＝AC，连接DE.易证△AED≌△ACD(SAS)，∴ED＝CD，∠AED＝∠C.∵∠AED＝∠B＋∠EDB，∴∠C＝∠AED＝∠B＋∠EDB.又∵∠C＝2∠B，∴∠B＝∠EDB.∴BE＝DE.∴AB＝AE＋BE＝AC＋DE＝AC＋CD.方法2：延长AC到点F，使CF＝CD，连接DF.∵CF＝CD，∴∠CDF＝∠F.∵∠ACB＝∠CDF＋∠F，∴∠ACB＝2∠F.又∵∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠F.又∵

5、∠BAD＝∠FAD，AD＝AD，∴△ABD≌△AFD(AAS)．∴AB＝AF＝AC＋CF＝AC＋CD.4．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD，CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并加以证明．解：BC＝BE＋CD.证明：在BC上截取BF＝BE，连接OF.∵BD平分∠ABC，∴∠EBO＝∠FBO.又∵OB＝OB，∴△EBO≌△FBO.∴∠EOB＝∠FOB.∵∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－∠ABC－∠AC

6、B＝180°－(180°－∠A)＝120°.∴∠EOB＝∠DOC＝60°.∴∠BOF＝60°，∠FOC＝∠DOC＝60°.∵CE平分∠DCB，∴∠DCO＝∠FCO.又∵OC＝OC，∴△DCO≌△FCO.∴CD＝CF.∴BC＝BF＋CF＝BE＋CD.5．如图，AD∥BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，E是DC的中点．问：AD，BC，AB之间有何关系？并说明理由．解：AB＝AD＋BC.理由：作EF⊥AB于F，连接BE.∵AE平分∠BAD，DC⊥AD，EF⊥AB，AD∥BC，∴EF＝DE，DC⊥BC.∵DE＝CE，∴EC＝EF.∴

7、Rt△BFE≌Rt△BCE(HL)．∴BF＝BC.同理可证：AF＝AD.∴AD＋BC＝AF＋BF＝AB，即AB＝AD＋BC.方法3　利用“倍长中线法”构造全等三角形【方法归纳】　将中点处的线段延长一倍，然后利用SAS证三角形全等．6．已知：如图，AD，AE分别是△ABC和△ABD的中线，且BA＝BD.求证：AE＝AC.证明：延长AE至F，使EF＝AE，连接DF.∵AE是△ABD的中线，∴BE＝DE.∵∠AEB＝∠FED，∴△ABE≌△FDE.∴∠B＝∠BDF，AB＝DF.∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA，BD＝DF.∵∠A

8、DF＝∠BDA＋∠BDF，∠ADC＝∠BAD＋∠B，∴∠ADF＝∠ADC.∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD.∴DF＝CD.又∵AD＝AD，∴△ADF≌△ADC(SAS)．∴AC＝AF＝2AE，即AE＝AC.7．如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证