《泛函分析》教学大纲-兰州大学物理学院

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1、《高等数学（物理类）》教学大纲一、课程说明（一）课程名称、所属专业、课程性质、学分；高等数学，物理类，公共基础课，6学分。适用于理科基地班和物理，力学，计算机，自然地理，资源环境等专业的非基地班，教材选用[1]，[2]。理科其它专业的非基地班（如化学，生物，草科等）可采用教材[3]。（二）课程简介、目标与任务；高等数学课程是综合大学理科各专业必修的一门重要基础理论课，是为培养学生的基本素质、学习后续课程服务的。通过本课程的学习，逐步培养学生的抽象思维的能力、逻辑推理能力、空间想象能力、自学能力以及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，为学生学习后续课程和进一步获得近代科学技术知识

2、奠定必要的数学基础。（三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接；没有先修课，是后续课程的基础。（四）教材与主要参考书。[1]张志强，高等数学(一元微积分)，兰州大学出版社，2008-8。[2]张志强，高等数学(多元微积分)，兰州大学出版社，2008-8。[3]张志强，高等数学强化与考研教程(第一册)，兰州大学出版社，2008-8。[3]张志强，高等数学强化与考研教程(第二册)，兰州大学出版社，2008-8。二、课程内容与安排下面打“*”号的内容是基地班要讲授的，对非基地班来说，这部分内容或不讲，或选讲，或只介绍必要的结论，可视具体情况而定。对个别虽非基地班但对

3、数学要求较高、课时较为充裕的专业（如力学专业），应尽量按基地班的要求讲授。对有些学时较少的专业，还可对下面所列的教学内容作进一步的删节。第一章函数与极限（20―24课时）第一节变量与函数函数的概念，表示法，函数性态的简单讨论，反函数，复合函数及初等函数。第二节极限的概念8收敛变量，变量的极限，七种极限过程，用定义求极限的几个例子，无穷大量与无界变量。第三节极限的性质与运算法则极限的基本性质，极限的四则运算法则，*Stolz定理。第四节极限存在的判别法及两个重要极限夹挤定理，单调有界定理，*Cauchy收敛准则，Heine定理，*数列与其子数列的收敛关系。第五节无穷小量与无穷大量的阶无

4、穷小量与无穷大量阶的比较，记号O,o及∽,主要部分及无穷小（大）量的阶数。第六节连续函数函数的连续性，函数的间断点，连续函数的运算性质及初等函数的连续性，*一致连续性的概念，闭区间上连续函数的性质。第二章导数与微分（12课时）第一节导数概念几个实际例子，导数的定义，导数的几何意义，用定义求导数的几个简单例子。第二节求导法则导数的四则运算，反函数的导数，复合函数的导数，隐函数的导数，参数方程所表示函数的导数。第三节微分及其运算微分的定义与性质，微分的运算，微分应用于近似计算与误差估计。第四节高阶导数与高阶微分高阶导数的概念，高阶导数的运算法则，参数方程及隐函数的高阶导数，高阶微分。第三

5、章中值定理及其应用（14―16课时）第一节微分中值定理三个微分定理的引入，条件和结论，证明及推论。第二节罗必塔法则8基本不定式，其它形式的不定式。第三节泰勒公式公式的引入，余项的不同形式，基本初等函数的麦克劳林展式及其几个简单的应用。第四节函数几何性质的讨论单调性，极值，最值，凹凸与拐点。第五节函数图形的描绘渐进线，函数作图的一般步骤。第六节曲率概念的引入，曲率的计算，*密切圆与渐屈线。第四章不定积分（10―14课时）第一节不定积分的概念与性质原函数与不定积分的定义，不定积分基本公式，不定积分的运算法则和直接积分法。第二节两个基本积分法换元积分法，分部积分法。第三节有理函数的积分待定

6、系数法，*奥氏法。第四节三角函数的有理函数的积分万能代换，整角代换，降幂法及其它。第五节简单无理函数的积分分式线性函数的有理幂，*欧拉代换，*二项微分式的积分。第五章定积分（14―16课时）第一节定积分的概念和性质概念的引入，定义，可积分性，几何意义，性质。第二节微积分基本定理*用定义计算定积分的几个例子，牛顿-莱布尼兹公式。第三节定积分的换元法与分部积分法。第四节定积分的应用8微元分析法，平面图形的面积，特殊立体的体积，曲线弧长，定积分在物理、力学中的应用。*第五节定积分的近似计算第六节广义积分的基本概念无穷积分，瑕积分。第六章广义积分与无穷级数（20―26课时）第一节数项级数定义

7、及收敛性，收敛级数的性质，正项级数，任意项级数，绝对收敛级数。第二节广义积分的收敛性无穷积分和数项级数的关系，无穷积分的收敛判别法，欧拉积分。第三节函数项级数的一般概念收敛种种，*一致收敛性的判定，*一致收敛级数的性质和内闭一致收敛性。第四节幂级数收敛半径，幂级数的运算及分析性质，函数的幂级数展开。第五节富里叶级数上的富里叶级数，正弦级数和余弦级数，任意区间上的富里叶级数，*富里叶级数的逐项积分和逐项微分，*富里叶级数的复数形式。第七章简单微分方程（12课