泛函分析教学大纲

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1、泛函分析教学大纲一、泛函分析课程说明(一)课程代码08130013(二)课程英文名称:FunctionalAnalysis(三)开课对象:数学与应用数学专业本科生(四)课程性质:泛函分析是数学学科的一门基础理论课程。本课程的目的在于运用泛函分析的理论和方法进一步研究无限维空间的结构。通过教学，使学生了解和掌握这一学科的基本概念，理论，培养学生的理论思维能力，为从事数学学科的教学和研究打下一定的理论基础。前期课程：《数学分析》《高等代数》《实变函数》(五)教学目的通过泛函分析的教学，使学生了解和掌握赋泛线性空间，有界线性

2、算子，Hilbert空间，Banach空间的基本概念和基本理论，培养学生理论思维能力，为进一步学习数学的有关学科打下扎实的理论基础(六)教学内容本课程主要包括度量空间和赋范线性空间，有界线性算子和连续线性泛函，内积空间和Hilbert空间，Banach空间中的基本定理，线性算子的谱等几个部分。通过教学的各个环节使学生达到各章的基本要求。习题是重要的教学环节，教师必须高度重视。(七)学时、学分数及学时数具体分配教学时数：72学时学分数：4学分教学时数具体分配教学内容讲授实验/实践合计第一章度量空间和赋范线性空间1212第

3、二章有界线性算子和连续线性泛函1616第三章内积空间和Hilbert空间2020第四章Banach空间中的基本定理1616第五章线性算子的谱88合计7272(八)教学方式以教师讲解为主的课堂教学方式(九)考核方式和成绩记载说明考核方式为考试。严格考核学生的出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量取消考试资格。综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定。平时成绩占30％，期末成绩占70％。二、讲授大纲与各章的基本要求第一章度量空间和赋范线性空间教学要点:1泛函分析研究的对象是定义在度量空间之间的映射42度量空间X的子集Y在X中稠密的充

4、分必要条件是Y的闭包等于X3有理点集是可数稠密集4任何度量空间X,都存在完备的度量空间教学时数:12学时教学内容第一节度量空间第二节度量空间的极限,稠密集,可分空间第三节连续影射第四节柯西点列和完备度量空间第五节度量空间的完备化第六节压缩映射原理及其应用第七节线性空间第八节赋范线性空间和Banach空间考核要求：第一节度量空间（识记）第二节度量空间的极限,稠密集,可分空间（领会与应用）第三节连续影射（领会与应用）第四节柯西点列和完备度量空间（领会与应用）第五节度量空间的完备化（领会）第六节压缩映射原理及其应用（领会与应

5、用）第七节线性空间（领会与应用）第八节赋范线性空间和Banach空间（领会与应用）第二章有界线性算子和连续线性泛函教学要点:1掌握赋范线性空间的有界线性映射的概念2掌握赋范线性空间X到赋范线性空间Y上的线性映射的全体也是一个赋范线性空间3掌握线性同构的概念教学时数：16学时教学内容第一节有界线性算子和连续线性泛函第二节有界线性算子空间和共轭空间第三节广义函数考核要求：第一节有界线性算子和连续线性泛函（识记、领会、应用）第二节有界线性算子空间和共轭空间（识记、领会、应用）第三节广义函数（领会）第三章内积空间和Hilber

6、t空间教学要点:1掌握内积与西尔百特空间中的范数之间的关系2每个Hilbert空间X都有完全规范正交系43Hilbert空间X可分的充要条件是X存在一个可数的完全规范正交系教学时数：20学时教学内容：第一节内积空间的基本概念第二节投影定理第三节Hilbert空间中的规范正交系第四节Hilbert空间上的连续线性泛函第五节自伴算子,酉算子和正常算子考核要求：第一节内积空间的基本概念（识记，领会，应用）第二节投影定理（领会，应用）第三节Hilbert空间中的规范正交系（领会，应用）第四节Hilbert空间上的连续线性泛函（

7、领会，应用）第五节自伴算子,酉算子和正常算子（识记，领会，应用）第四章Banach空间中的基本定理教学要点:1理解Banach空间三大基本定理（1）泛函延拓定理（2）一致有界定理（3）逆算子定理2掌握弱收敛和强收敛的概念3理解Baie纲定理教学时数：16学时教学内容第一节泛函延拓定理第二节C[a,b]的共轭空间第三节共轭算子第四节纲定理和一致有界定理第五节强收敛,弱收敛和一致收敛第六节逆算子定理第七节闭图象定理考核要求：第一节泛函延拓定理（领会，应用）第二节C[a,b]的共轭空间（领会，应用）第三节共轭算子（识记，领会

8、，应用）第四节纲定理和一致有界定理（领会，应用）第五节强收敛,弱收敛和一致收敛（识记，领会，应用）第六节逆算子定理（领会，应用）第七节闭图象定理（领会，应用）第五章线性算子的谱教学要点:1理解赋范线性空间上的有界线性算子T的谱是有限维线性空间中线性变换的特征值的推广42赋范线性空间上的有界线性算子T的谱是复平面上的非空有界闭集3用