《2.4一元二次方程根与系数的关系》同步练习含答案.doc

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1、第二章一元二次方程（选学）2.4一元二次方程根与系数的关系一、选择题1.已知x=2是方程x2﹣6x+m=0的根，则该方程的另一根为（　　）A．2B．3C．4D．82．已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，则x1+x2的值是（　　）A．3B．﹣3C．1D．﹣13.若方程x2+x﹣2=0的两个实数根分别是x1、x2，则下列等式成立的是（　　）A．x1+x2=1，x1•x2=﹣2B．x1+x2=﹣1，x1•x2=2C．x1+x2=1，x1•x2=2D．x1+x2=﹣1，x1•x2=﹣24.若关于x的一元二次方程x2+（k

2、+3）x+2=0的一个根是﹣2，则另一个根是（　　）A．2B．1C．﹣1D．0★5.设a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　）A．2012B．2013C．2014D．2015二、填空题6.已知一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1、x2，x1+x2=　　．7.已知a、b是方程x2﹣x﹣2=0的两个不相等实数根，则a•b的值是　．8.若方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1、x2，则的值为　　．9.以﹣3和7为根且二次项系数为1的一元二次方程是　　．★10.（2015•青海西宁）若矩形的

3、长和宽是方程2x2﹣16x+m=0（0＜m≤32）的两根，则矩形的周长为　　．三、解答题11.若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+6=0的一个根是﹣2，求另一个根及k的值．12.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．13.已知方程x2+2（k﹣2）x+k2+4=0有两个实数根，且这两个实数根的平方和比两根的积大21，求k的值和方

4、程的两个根．★14.先阅读并完成第（1）题，再利用其结论解决第（2）题．（1）已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x1，x2，则有x1+x2=﹣，x1•x2=．这个结论是法国数学家韦达最先发现并证明的，故把它称为“韦达定理”．利用此定理，可以不解方程就得出x1+x2和x1•x2的值，进而求出相关的代数式的值．请你证明这个定理．（2）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+2）x﹣2n2=0的两个根记作an，bn（n≥2），请求出+…的值．2.4答案：1.C2.A3.D4.C5.C6

5、.37.-28.-39.10.1611.另一个根是-3，k=212.（1）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根，∴x1+x2=2（m+1），x1•x2=m2+5，∴（x1﹣1）（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=m2+5﹣2（m+1）+1=28，解得：m=﹣4或m=6；当m=﹣4时原方程无解，∴m=6；（2）①当7为底边时，此时方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0有两个相等的实数根，∴△=4（m+1）2﹣4（m2+5）=0，解得：m=2，∴方程变为x2﹣6x+9=0，解

6、得：x1=x2=3，∵3+3＜7，∴不能构成三角形；②当7为腰时，设x1=7，代入方程得：49﹣14（m+1）+m2+5=0，解得：m=10或4，当m=10时方程变为x2﹣22x+105=0，解得：x=7或15∵7+7＜15，不能组成三角形；当m=4时方程变为x2﹣10x+21=0，解得：x=3或7，此时三角形的周长为7+7+3=1713.∵方程x2+2（k﹣2）x+k2+4=0有两个实数根，∴△=4（k﹣2）2﹣4（k2+4）≥0，∴k≤0，设方程的两根分别为x1、x2，∴x1+x2=﹣2（k﹣2）…①，x1•x2=k2

7、+4…②，∵这两个实数根的平方和比两根的积大21，即x12+x22=x1•x2+21，即（x1+x2）2﹣3x1•x2=21，把①、②代入得，4（k﹣2）2﹣3（k2+4）=21，∴k=17（舍去）或k=﹣1，∴k=﹣1，∴原方程可化为x2﹣6x+5=0，解得x1=1，x2=5．（1）根据求根公式x=知，x1=，x2=，故有x1+x2=+=﹣，x1•x2=×=；（2）∵根与系数的关系知，an+bn=n+2，an•bn=﹣2n2，∴（an﹣2）（bn﹣2）=anbn﹣2（an+bn）+4=﹣2n2﹣2（n+2）+4=﹣2n（

8、n+1），∴=﹣（﹣），∴+…=﹣[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=﹣×（﹣）=﹣．