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《2019数学(理)二轮能力圆锥曲线的最值、范围、证明问题---精校解析Word版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.(2018·成都模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的两个顶点A,B的坐标分别为(-1,0),(1,0),且AC,BC所在直线的斜率之积等于-2,记顶点C的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)设直线y=kx+2(0<k<2)与y轴相交于点P,与曲线E相交于不同的两点Q,R(点R在点P和点Q之间),且=λ,求实数λ的取值范围.解析:(1)设C(x,y).由题意,可得·=-2(x≠±1),∴曲线E的方程为x2+=1(x≠±1).(2)设R(x1,y1),Q(x2,y2).联立,得消去y,可得(2+k2)x2+4kx+2=0,∴Δ=8k2-16>0,∴k2>2.又0<k<2
2、,∴<k<2.由根与系数的关系得,x1+x2=-, ①x1x2=. ②∵=λ,点R在点P和点Q之间,∴x2=λx1(λ>1). ③联立①②③,可得=.∵<k<2,∴=∈(4,),∴4<<,∴<λ<3,且λ≠1.∵λ>1,∴实数λ的取值范围为(1,3).2.(2018·武汉调研)已知抛物线C:x2=2py(p>0)和定点M(0,1),设过点M的动直线交抛物线C于A,B两点,抛物线C在A,B处的切线的交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上,求p的值;(2)若△ABN的面积的最小值为4,求抛物线C的方程.解析:设直线AB:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),将直线AB的方程代
3、入抛物线C的方程得x2-2pkx-2p=0,则x1+x2=2pk,x1x2=-2p. ①(1)由x2=2py得y′=,则A,B处的切线斜率的乘积为=-,∵点N在以AB为直径的圆上,∴AN⊥BN,∴-=-1,∴p=2.(2)易得直线AN:y-y1=(x-x1),直线BN:y-y2=(x-x2),联立,得结合①式,解得即N(pk,-1).
4、AB
5、=
6、x2-x1
7、==,点N到直线AB的距离d==,则△ABN的面积S△ABN=·
8、AB
9、·d=≥2,当k=0时,取等号,∵△ABN的面积的最小值为4,∴2=4,∴p=2,故抛物线C的方程为x2=4y.3.(2018·山西四校联考)如图,圆C与x轴相
10、切于点T(2,0),与y轴正半轴相交于两点M、N(点M在点N的下方),且
11、MN
12、=3.(1)求圆C的方程;(2)过点M任作一条直线与椭圆+=1相交于两点A、B,连接AN、BN,求证:∠ANM=∠BNM.解析:(1)设圆C的半径为r(r>0),依题意,圆心C的坐标为(2,r).∵
13、MN
14、=3,∴r2=2+22,解得r2=.∴圆C的方程为(x-2)2+2=.(2)证明:把x=0代入方程(x-2)2+2=,解得y=1或y=4,即点M(0,1)、N(0,4).①当AB⊥x轴时,可知∠ANM=∠BNM=0˚.②当AB与x轴不垂直时,可设直线AB的方程为y=kx+1.联立方程,消去y得,(1+2k
15、2)x2+4kx-6=0.设直线AB交椭圆于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则x1+x2=,x1x2=.∴kAN+kBN=+=+=.若kAN+kBN=0,则∠ANM=∠BNM.∵2kx1x2-3(x1+x2)=+=0,∴∠ANM=∠BNM.4.(2018·德州模拟)已知C为圆(x+1)2+y2=8的圆心,P是圆上的动点,点Q在圆的半径CP上,且有点A(1,0)和AP上的点M,满足·=0,=2.(1)当点P在圆上运动时,求点Q的轨迹方程;(2)若斜率为k的直线l与圆x2+y2=1相切,与(1)中所求点Q的轨迹交于不同的两点F,H,O是坐标原点,且≤·≤时,求k的取值范围.解析:(
16、1)由题意知MQ是线段AP的垂直平分线,所以
17、CP
18、=
19、QC
20、+
21、QP
22、=
23、QC
24、+
25、QA
26、=2>
27、CA
28、=2,所以点Q的轨迹是以点C,A为焦点,焦距为2,长轴长为2的椭圆,所以a=,c=1,b==1,故点Q的轨迹方程是+y2=1.(2)设直线l:y=kx+t,F(x1,y1),H(x2,y2),直线l与圆x2+y2=1相切⇒=1⇒t2=k2+1.联立,得⇒(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0,Δ=16k2t2-4(1+2k2)(2t2-2)=8(2k2-t2+1)=8k2>0⇒k≠0,x1+x2=,x1x2=,所以·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+kt(x1+x2
29、)+t2=+kt+t2=-+k2+1=,所以≤≤⇒≤k2≤⇒≤
30、k
31、≤,所以-≤k≤-或≤k≤.故k的取值范围是[-,-]∪[,].