高考 圆锥曲线的存在、探索问题-2018精品之高中数学（理）黄金100题---精校解析Word版

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1、第81题圆锥曲线的存在、探索问题I．题源探究·黄金母题【例1】已知经过椭圆的右焦点作垂直于轴的直线，交椭圆于两点，是椭圆的左焦点．（I）求的周长；（II）如果不垂直于轴，的周长有变化吗？为什么？【答案】（I）20；（II）没有变化．【解析】（I）由已知，当轴时，，代入椭圆的方程可得纵坐标分别为，从而．的周长为．（II）如果不垂直于轴，的周长不变，证明如下：由椭圆的定义可知：，两式相加即得的周长为．精彩解读【试题来源】人教A版选修2-1P36练习T3．【母题评析】本题考查椭圆的定义及其简单的几何性质，考查考生简单的识记及基本计算能力．【思路方法】利用椭圆的定义解

2、题．II．考场精彩·真题回放【例1】【2017高考全国III20改编】在直角坐标系中，曲线与轴交于两点，点的坐标为．当变化时，解答下列问题：（I）能否出现的情况？说明理由；（II）证明过三点的圆在轴上截得的弦长是否为定值？【答案】（I）不会；（II）为定值3．【解析】试题分析：（I）设，由得；【命题意图】主要以直线与圆锥曲线的位置关系为背景，考查学生逻辑推理、分类讨论、运算求解以及分析问题解决问题的能力．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常解答题形式出现，作为压轴题，难度大．【难点中心】求解存在性问题的思路及策略由韦达定理得，矛盾，所以不存在（II）可设圆方

3、程为，因为过，所以，令得，即弦长为3．试题解析：（I）设，则是方程的根，所以，则，所以不会能否出现的情况．（II）解法1：过三点的圆的圆心必在线段垂直平分线上，设圆心，则，由得，化简得，所以圆的方程为，令得，所以过三点的圆在轴上截得的弦长为，所以过三点的圆在轴上截得的弦长为定值3．解法2：设过三点的圆与轴的另一个交点为D，由可知原点O在圆内，由相交弦定理可得，又，所以，所以过三点的圆在轴上截得的弦长为，为定值3．【例2】【2016年高考四川】已知椭圆E：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线与椭圆E有且只有一个公共点T．（Ⅰ）求椭圆E的方程及点

4、T的坐标；（1）思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．（2）策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l’平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数，使得，并求的值．【答案】（Ⅰ），点T坐标为（2，1）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）由椭圆两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点可得，从而可得，椭圆的标准方程中可减少一个参数，再利用直线和椭圆只有一个公共点，联立方程，方程有两个相等实根，解出b

5、的值，从而得到椭圆的标准方程；（Ⅱ）首先设出直线方程为，由两直线方程求出点坐标，得，同时设交点，把方程与椭圆方程联立后消去得的二次方程，利用根与系数关系，得，再计算，比较可得值．试题解析：（I）由已知，，即，所以，则椭圆E的方程为．由方程组得．①方程①的判别式为，由，得，此方程①的解为，所以椭圆E的方程为．点T坐标为（2，1）．（II）由已知可设直线的方程为，有方程组可得所以P点坐标为（），．设点A，B的坐标分别为．由方程组可得．②方程②的判别式为，由，解得．由②得．所以，同理，所以．故存在常数，使得．【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的

6、分析问题解决问题的能力和数形结合的思想．在涉及到直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般都设交点坐标为，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得，再把用表示出来，并代入刚才的，这种方法是解析几何中的“设而不求”法．可减少计算量，简化解题过程．【例3】【2016高考新课标I】在直角坐标系中，直线l：y=t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．（I）求；（II）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．【答案】（I）2（II）没有．【解答】试题分析：先确定，的方程为，代入整理得，解得，，得，由此可得

7、为的中点，即．（II）把直线的方程，与联立得，解得，即直线与只有一个公共点，所以除以外直线与没有其它公共点．试题解析：（Ⅰ）由已知得，．又为关于点的对称点，故，的方程为，代入整理得，解得，，因此．所以为的中点，即．（Ⅱ）直线与除以外没有其它公共点．理由如下：直线的方程为，即．代入得，解得，即直线与只有一个公共点，所以除以外直线与没有其它公共点．【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系，直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容，主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线

8、或直线过定点；证明垂直；证明定值问题．