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《专题42二面角（第02期）（解析版）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2018届高考数学大题狂练第四篇立体几何（理科）专题02二面角一.解答题1=乙BCD=彳乙BAD=60°,AB=2CD=232BF=CE=-BC.31（2）若PA=-AB,求二面角P-CD-A的余弦值.2Jll【答案】⑴见解析；⑵「・7【解析】分析:⑴过点D在平面ABCD内作DN//BC,交AB于点N,连接EN,可得NE//AF//DC,可证明*BCD=60。,zDEC=3O所以.de丄cd,所以DE丄AF,由线面垂直的性质可得PA丄de,根据线面垂直的判定定理可得结论：（2）以A为坐标原点，分别以AB,AD,A
2、P所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，平面ACD的一个法向量（0Q1）,利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面PCD的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.详解：（1）证明：过点D在平面ABCD内作DN//BC,交AB于点N,因为AB=2CD,厶ABC二乙BCD,所以四边形DNBC为一个底角是60°的等腰梯形，所以BN=AN=CD,所以N为AB屮点，由题知厶BAD=90°,在RtANAD中，DN=2AN,又乙ABC二乙BCD=60°,3所以BC=-ND,22而BF二CE=—BC,3所以E,F为BC的三等分
3、点，连接EN,所以NE//AF//DC,又在ADEC中，EC=2DC,^BCD=60°,所以乙DEC=30°,所以DE丄CD,所以DE丄AF,又PA丄平面ABCD,所以PAIDE,因为PAGAF二A,所以DE丄平血PAF.(2)以A为坐标原点，分别以AB,AD,AP所在直线为轴建立空间直角坐标系，所以平面ACD的一个法向量为m=(0,0,1),又由(I)知乙ABOZAND=60°,乙BAD=90°,所以在AAND中，AD=$AN=&所以。(0筋,0),乙ADO150JC(j学0),P(0,0,l),所以PC=右学1
4、)'DC=(py,0),设平iklPCD的法向量为n=(x“z)，13$所以PC・n=OCD-n=0-x+v・z=0221加-x+——y=022令x二福,所以n=(咼・1,・&,设二面角P-CD-A的平面角为8,且8为锐角,所以cosO=n-m7点睛：本题主要考查线面垂直的•判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题•空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：(1)观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；(2)写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量
5、；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.2.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，PA丄底面ABCD,E,F分别是BC,PD的中点.（1）证明：直线EFII平面PAB；（2）设二面角E-FD-A为30°,且AC=AB=^,AD=2,求四棱锥P-ABCD的体积.4語【答案】（1）见解析;（2）V=—.31【解析】分析：（1）取PA屮点M,连结MF,MB,由三角形屮位线定理可得MF//AD,且MF二-AD,再结合平2行四边形的性质可得四边形BEFM是平行四边形，于是EF//
6、BM,利用线面平行的判定定理可得结论；（2）由PA丄底面ABCD,结合勾股定理可得AB,AC,AP两两互相垂直，以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，PA=h,求出两平面的法向量，由空间向量夹角余眩公式列方程求得h=2$,利用棱锥体积公式可得结果.详解：（1）取PA中点连结MF,MB・因为F是PD中点，所以MF//ADfiMF=-AD2又因为BC//AD且BC=AD,且E是BC的中為所以MF//BE且MF=BE.所以四边形BEFM是平行四边形.于是EF//BM.又BMU平面PAB,EFQ平面PAB因此EF〃平
7、面PAB.（2）四棱锥底而ABCD是平行四边形，且AC=AB=X/2,AD=2,所以AB丄AC,又因为PA丄底面ABCD,所以AB,AC,AP两两互相垂直以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则B(&QO),C(O,Q,O),E(ggo),D(・也厲0).连结AE,由AB=AC.E是BC中，点=>AE丄BC=>AE丄AD.又PA丄平面ABCD=>AE丄PA.又PAnAD=A=>AE丄平面PAD.即平面PAD的法向量丘=(—z—,0).•设PA=h,所以F(-—22222设半由］EFD的法向量为m二(x,y,z
8、).学-科网*=>m•ED=0—M—bm•DF=0令x=1=>m=(1,3,由二面角E-FD-A为30°
9、m•AE
10、所以cos3CT=__zr-
11、m
12、
13、AE
14、解得h=2j31•BC•AE•PA=-x2x3所以四棱锥P-ABCD的体积1V=-S3ABCD•PA=-3点睛：本题主要考查线面平行的判定定理、二面角、棱锥体积公式，属于难题.证明线面平行的常用方法：①
