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1、用LINGO解线性规划和整数规划在工程技术、经济管理、科学研究和H常生活等许多领域中，人们经常遇到的一类决策问题是：在一系列客观或主观限制条件下，寻求使关注的某个或多个指标达到最大（或最小）的决策。例如：★结构设计要在满足强度要求条件下选择材料的尺寸，使其总重量最轻；★资源分配要在有限资源约束下制定各用户的分配数量，使资源产牛的总效益最大；★运输方案要在满足物资需求和装载条件下安排从各供应点到各需求点的运量和路线，使运输总费用最低；★生产计划要按照产品工艺流程和顾客需求，制定原料、零件、部件等订购、投产
2、的日程和数量，尽量降低成木使利润最高。上述这种决策问题通常称为优化问题。人们解决这些优化问题的手段大致有以下几种：1.依赖过去的经验判断面临的问题。这似乎切实可行，并且没有太大的风险，但是其处理过程会融入决策者太多的主观因素，难以客观地加以描述，从而无法确认结果的最优性。2.做大量的试验反复比较。这I古I然比较真实可靠，但是常要花费太多的资金和人力，而且得到的最优结果基本上离不开开始设计的试验范围。3.用数学建模的方法建立数学规划模型求解最优决策。虽然由于建模时要作适当的简化，可能使得结果不一定完全可行
3、或达到实际上的最优，但是它基于客观规律和数据，乂不需要多大的费用，具有前两种手段无可比拟的优点。如果在此基础上再辅之以适当的经验和试验，就可以期望得到实际问题的一个比较圆满的回答，是解决这种问题最有效、最常用的方法之一。1.1.1数学规划模型数学规划模型一般有三个要素：一是决策变量，通常是该问题要求解的那些未知量，不妨用n维向量x=（xI,x2,...,xny表示；二是目标函数，通常是该问题要优化(最小或最大)的那个目标的数学表达式，它是决策变量X的函数，这里抽象地记作f(x)；三是约束条件，由该问题对
4、决策变量的限制条件给出，即X允许取值的范围xeQ,Q称可行域，常用一组关于X的不等式(也可是等式)gi(x)W0(I=l,2,…,m)来界定。一般地，这类模型可表示成如下形式：optz=f(x)(1)s.t.gi(x)W0(2)这里opt(optimize)是最优化的意思，可以是求极小min(minimize)或求极大max(maximize)；s.t.(subjectto)是"受约束于”的意思，满足(2)式的解x称为可行解，同时满足(1)式，(2)式的解/称为最优解。模型(1),(2)中：若决策变量兀
5、的所有分量x(i为实数，且/、gi(i=l,・・・m)都是线性函数时，称为线性规划；若/、刃至少有一个非线性函数，则称为非线性规划;若兀至少有一个分量只取整数,则称为整数规划。线性规划和菲线性规划是连续规划，而整数规划是离散优化(组合优化)，它们统称为数学规划。我们简介用LINGO解线性规划和整数规划问题。LINGO(LinearInteractiveandGeneraiOptimizer)是由美国芝加哥大学的LinusSchrage于1986年开发的优化计算软件包，LINGO可以用来求解线性规划、线
6、性整数规划、二次规划和整数二次规划、非线性规划等问题。LINDO公司白勺主页为：http://www.lindo.com。1.2用LINGO求解线性规划问题例1加工奶制品的生产计划。(I)问题及建模：一奶制品加工厂用牛奶生产A】、A2两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A],或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A2o根据市场需求，生产的A】、A?能全部售岀，且每公斤Ai获利24元，每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且设备
7、甲每天至多能加工100公斤九，设备乙的加工能力没有限制。试为该厂制定一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个附加问题:1）若用35元可以购买到1桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？3）由于市场需求变化，每公斤Ai的获利增加到30元，应否改变生产计划？数学模型设每天用xi桶牛奶生产A1,用X2桶牛奶生产A2解：目标函数：设每天获利为z元。X］桶牛奶可生产3xi公斤A1,获利24*3x「X2桶牛奶可生产4
8、x2公斤A2,获利16*4x2，故z=72x1+64x2约束条件：①、原料供应生产街、A?的原料（牛奶）总量不超过每天的供应50桶，即：X1+X2W50②、劳动时间生产A】、A2的总加工时间不超过每天正式工人总的劳动吋间480小时，即：12x1+8x20480③、设备能力A】的产量不得超过设备甲每天的加工能力100小时，即3xi^l00④、非负约束X
9、、X2均不能为负值，W：xi$0,x2^0综上所述可得：Maxz=72xi+64x2s.t
