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《矩正变换在求多项式的最大公因式中的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第一章引言在高等代数中，最大公因式是多项式理论中的一个重要概念，求数域F上多个多项式的最大公因式通常用因式分解法、辗转相除法，然而不是所有的一元多项式都能因式分解；但当多项式的次数较高吋，辗转相除法计算较繁琐，而推广到多个多项式的情形计算量更大•若从另一个角度出发，用矩阵初等变换的方法来处理这些代数问题，则有事半功倍之效，本文总结岀用矩阵的准初等变换和I矩阵的初等变换求最人公因式的两种方法以及多项式最人公因式的矩阵求法的应用.定义1设/©)丘F[x],i=1,2,•・•,$・如果F[x]中的多项式/i(x)满足力⑴庞(x),
2、Z=l,2,那么称力(x)是/(x),f2(x),…，fs(x)的公因式.定义2设/.(x)G=.称F[x中的多项式d(x)是…，£(兀)的最大公因式•如果1)〃(x)庞(X),i=l,2,…,S、，即d(兀)是(x),f2(x),…，£(兀)的公因式.2)对F[兀]中的任一多项式力(兀)来说，一旦/?(x)
3、/.(x),i=l,2,・・•,$,就有h{x)d{x)・由于/(x)gF[x],那么对F中的任意非零常数c,总有c
4、/(x),且cf(x)f(x),所以F[x]中若干个多项式的公因式总是存在的，至少F中的非零常
5、数就是它们的公因式.定理1设/(%),§(%)€F[x](i)f(x)与g(x)的最大因式总是存在的;(ii)若〃(兀)是f(x)与g(x)的最大公因式，则存在F[x]中的多项式u(x),v(%)使得u(x)f(x)+v(x)g(x)=d(x)・证明当/(x)=g(x)=0时，定理显然成立.现在假设f(x)与g(x)不全是零多项式，作F[x]的子集合A={h}(x)/(x)+h,(x)g(x)
6、](x)>h2(x)gF[x]}.显然f(x),g(x)eA,所以A中含有非零多项式，d°(切是A中任意一个次数最低的非零多项式，
7、那么存在W](x),w2(x)GF[x],使得vv,(%)/(%)+w2(x)g(x)=d()(x)(1)下面证明J0(x)是/(x)与g(x)的最大公因式.先证明d()(x)是f(x)与g(x)的公因式,假如d()(x)不能整除/(x),用do(兀)去除/(兀)所得的商式和余式分别是讥力,厂(兀)，即/(x)=d()(x)q(x)+r(x)(2)这里的r(x)H0,且degr(x)8、gA,而r(x)0且deg厂⑴vdegd()(兀),这与〃()(兀)是屮A任意一个次数最低的非零多项式相矛盾，从而〃()(兀)
9、/(兀)・类似可证d()O)
10、g(x).现在设h(x)GF［x］9H/?(x)
11、/(x)>h(x)g(x),由(1)得h(x)w)(x)/(x)+w2(x)^(x)=d0(x),因此d()O)是/(工)与g(x)的最大公因式.设〃(兀)是f(x)与g(x)的任意一个最大公因式，存在cwF,chO,使得d(x)=cdQ(x),将⑴代入J(x)=cJ0(x),得cwi(x)f(x)-^-cw2(x)
12、g(x)=d(x),再令u(x)=cw,(x)>v(x)=cw2(x),就有比(兀)/*(x)+v(兀)g(兀)=〃(兀)・对于多个多项式的最大公因式完全有与定理1一样的结论，证明方法也类似,在这里列出但不予以证明.定理2设/(兀疋尸［刘,心1,2,・・・,$(i)£(x),厶(兀)，…，£(乂)的最大公因式总是存在的；(ii)若d{x)是/(%),/,(%),…，X，(%)的一个最大公因式，则存在堆⑴wF［兀］,21,2,…，s,使得d(x)=Y坷0)7(兀)•/=1下面给出求两个多项式的最大公因式的辗转相除法•设/(x)
13、,g(x)是F［x］的两个多项式.如果/(兀)，g(x)中有一个是零多项式，那么另一个就是它们的最大公因式•现在假设/(X),g(x)都不是零多项式，不妨设deg^(x)degr}(x)>de"(x)…，因此在有限次之后，必然有
14、一个余式为零，于是有一串带余除法算式：f(x)=ql(x)g(x)^-r^x),g(x)二％(兀)斤(兀)+血(兀)'J⑴=仏—Q几2(X)+h(X)，4一2(兀)=么(兀比-1(兀)+4(兀)71(兀)=乞+1(心(兀)+0・7；.(x)与0的最大公因式是r(x),匚(兀)也就是匚(兀)
