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1、正方形的性质与判定(第1课时)一、选择题(每小题4分,共12分)1.如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,则以AC为边长的正方形ACEF的周长为 ( )A.14 B.15C.16 D.17【解析】选C.∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,∵∠B=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AC=AB=4,∴正方形ACEF的周长为4AC=4×4=16.【变式训练】如图,AC为正方形ABCD的对角线,E是DC延长线上一点,F是AB延长线上一点,且四边形ACEF是菱形,则∠CAE= .【解析】∵AC为正方形ABCD的对角线,∴∠CAB=45°,∵四边形AC
2、EF是菱形,AE是它的对角线,∴∠CAE=22.5°.答案:22.5°2.如图,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是 ( )A.5∶8 B.3∶4C.9∶16 D.1∶2【解析】选A.设小正方形的边长为1,∴阴影部分正方形的边长是=,∴阴影部分正方形的面积是×=10,∵正方形ABCD的面积是16,∴阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是10∶16=5∶8.【一题多解】利用割补法可看出阴影部分的面积是10个小正方形组成的,∴阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是10∶16=5∶8.3.如图,边长分别为4和8的两个正方形ABCD
3、和CEFG并排放在一起,连接BD并延长交EG于点T,交FG于点P,则GT= ( )A.B.2C.2D.1【解析】选B.∵四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形,∴∠BDC=∠CGE=45°,又∵∠BDC=∠GDT=45°,∴∠GDT=∠DGT=45°,△DTG是等腰直角三角形,∵GD=8-4=4,由勾股定理得,GT=2.【互动探究】BP与EG相等吗?为什么?【解析】BP=EG,由题意可知∠BET=∠EBT=45°,∴△BTE是等腰直角三角形,∴BT=ET,同理△GTP是等腰直角三角形,∴TP=TG,∴BT+TP=ET+TG,∴BP=EG.二、填空题(每小题4分,共12分)
4、4.如图所示,直线a经过正方形ABCD的顶点A,分别过顶点D,B作DE⊥a于点E,BF⊥a于点F,若DE=4,BF=3,则EF的长为 .【解析】∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°,∵∠BAF+∠ABF=∠BAF+∠DAE,∴∠ABF=∠DAE,在△AFB和△AED中,∠ABF=∠DAE,∠AFB=∠AED,AB=AD,∴△AFB≌△DEA,∴AF=DE=4,BF=AE=3,∴EF=AF+AE=4+3=7.答案:7【互动探究】正方形ABCD的面积是多少?【解析】∵AF=4,BF=3,∴AB===5.∴正方形ABCD的面积=5×5=25.5.如图,点
5、E是正方形ABCD内的一点,连接AE,BE,CE,将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置.若AE=1,BE=2,CE=3,则∠BE′C= 度.【解析】连接EE′,∵将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置,AE=1,BE=2,CE=3,∴∠EBE′=90°,BE=BE′=2,AE=E′C=1,∴EE′=2,∠BE′E=45°,∵E′E2+E′C2=8+1=9,EC2=9,∴E′E2+E′C2=EC2,∴△EE′C是直角三角形,∴∠EE′C=90°,∴∠BE′C=135°.答案:135【变式训练】点P是正方形ABCD边AB上一点(不与A,B重合),
6、连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90°得线段PE,连接BE,则∠CBE等于 ( )A.75° B.60°C.45° D.30°【解析】选C.过点E作EF⊥AB,交AB的延长线于点F,则∠F=90°,∵线段PE是线段PD绕点P顺时针旋转90°得到,∴PD=PE,∠DPE=90°,∴∠APD+∠EPF=90°,在正方形ABCD中,AD=AB,∠A=∠ABC=90°,∴∠APD+∠ADP=90°,∴∠ADP=∠EPF,在△APD和△FEP中,∵∠ADP=∠FPE,∠A=∠F=90°,PD=EP,∴△APD≌△FEP,∴AP=FE,AD=FP,又∵AD=AB,∴AB=P
7、F,即AP+PB=PB+BF,∴AP=BF,∴BF=EF,又∠F=90°,∴△BEF为等腰直角三角形,∴∠EBF=45°,又∠CBF=∠ABC=90°,∴∠CBE=90°-45°=45°.6.如图,正方形ABCD的边长为3,点E,F分别在边AB,BC上,AE=BF=1,小球P从点E出发沿直线向点F运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当小球P第一次碰到点E时,小球P所经过的路程为 .【解析】依题意,得到下图.易发现小球是沿着E→F→G→H→M→N→E的轨迹来运动的,故需分别求出
