第4章 偏微分方程的数值方法.doc

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1、第4章偏微分方程的数值方法在自然科学和工程技术中的许多物理问题，都可以用微分方程来描述。虽然大学的高等数学课程里研究了一些特殊常微分方程的解析求解，但是在实际应用中大量的微分方程是无法确定其解析解的。本章和下一章将介绍常微分方程的数值方法、偏微分方程数值求解的思想。§3.1微分方程数值方法的有关概念首先介绍微分方程的定义与分类：含有自变量、未知函数及其导数（微分或偏导数）的方程称为微分方程；如果未知函数只含有一个变量，则称为常微分方程；如果未知函数含有若干个变量，则称为偏微分方程。微分方程中未知函数的导数或偏导数的最高阶次称为微分方程的阶。例如：微分方程（3.1.1）

2、是一阶常微分方程，而（3.1.2）是二阶偏微分方程。所有使微分方程成为等式的函数，都是微分方程的解；在n阶微分方程中，将微分方程的具有n个任意常数的解称为该微分方程的通解。为确定微分方程通解中的任意常数而列出的条件称为定解条件；定解条件可以分为初始条件和边界条件两类。由微分方程和定解条件一起构成的问题称为微分方程定解问题。根据定解条件的不同，常微分方程分为初值问题和边值问题；若定解条件是描述函数在一点（或初始点）处状态的，则称为初值问题，一阶常微分方程初值问题的一般形式为：（3.1.3）若定解条件描述了函数在至少两点（或边界）处状态的称为边值问题，例如：（3.1.4）

3、微分方程的解有解析解与数值解两种。由于实际问题中大多数微分方程无法求出解析解，或难以其用初等函数表示解析解；同时在应用过程中，一般只需要得到若干特定点处的函数值。因此微分方程数值解法是科学与工程计算中的一个重要内容。由于微分方程数值解是一组离散点处的未知函数值，所以求数值解的基本步骤为：首先将整个定义域分成若干小块，以便对每小块上的点或片求出近似值，这样按一定规律对定义域分割的过程称为区域剖分。其次根据微分方程的形式，构造关于上述离散点或片的函数值递推公式或方程，该步骤称为微分方程的离散。这样未知量不再是一个连续函数，而是由若干个未知函数值所构成。微分方程离散后得到的

4、递推关系式，需要给定若干个初值才能启动。如果递推式是一个线性方程组，一般它所含的方程个数要少于未知量的个数，必须补充若干个方程后才可求解。这些方程可以通过将微分方程的初始条件或边界条件离散后获得，这一过程称为初始或边界条件的离散。经过上面的三个离散化过程，原来的微分方程定解问题就变为离散系统的求解问题。在求解之前需要讨论离散系统解的存在唯一性问题；离散系统与微分方程问题之间的差异，即解的收敛性问题；还需要研究解的收敛速度和计算的稳定性等问题。最后进行实际计算，通过求解离散系统问题，得到微分方程定解问题的数值解。应用数学方法解决实际问题可以分为两个阶段，一是对实际问题进

5、行分析，假设，并建立数学模型；二是根据数学模型的特点，选择适当的数值方法，确定模型的解。数值方法的误差主要有以下四个来源。①模型误差将实际问题归结为数学模型时，需要对问题作一定的简化和假设，由此产生数学模型与实际问题之间的误差；②观测误差数学模型中的一些系数、初值等常数源于测量仪器或统计资料，由于客观条件和仪器精度的限制而产生的误差；③截断误差数学模型离散化时往往舍去一些次要的项，这将导致数学模型解与离散问题解之间产生的误差；④舍人误差利用计算机根据结定的数值方法求解离散问题时，由于计算机对所运算的对象按一定字长进行四舍五人，将导致问题数值解与离散问题解之间的误差。本

6、章主要关注微分方程离散化过程中产生的截断误差。§3.2初值问题的数值方法本节讨论求解常微分方程（组）初值问题（3.2.1）的数值方法（3.2.1）先研究最简单最直观的求解初值问题的Euler方法，然后介绍两类更有效的方法：Runge－Kutta方法和线性多步方法。§3.2.1Euler法由于微分方程的数值解只需要计算在N+1个节点处微分方程解的近似值．所以先对初值问题（3.2.1）的求解区间进行剖分，以得到计算节点。一般将求解区间均匀分成N等份，即得到的节点满足：（3.2.2）Euler方法的具体计算公式，可以由三种不同的方法推导得到。（1）差商近似方法将初值问题（3

7、.2.1）在节点处的导数用前向差商代替：（3.2.3）记，则微分方程（3.2.1）近似写成：（3.2.4）由初始条件出发，逐步计算得到。式（3.2.4）称为显式Euler公式，显式Euler公式是最基本的计算公式。如果将节点处的导数用后向差商代替：（3.2.5）则类似可得递推公式：（3.2.6）由于它关于是隐式形式，所以式（3.2.6）称为隐式Euler公式。显式和隐式Euler公式在计算时，只用到前一步的结果，可称为单步方法。如果将节点处的导数用中心差商代替：（3.2.7）得到的递推公式：（3.2.8）在计算时，需要用到前两步结果，称为两步法公式。