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1、3.1变化率与导数【学习目标】（1）理解平均变化率的概念；（2）了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；（3）理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；（4）会求函数在某点的导数或瞬时变化率；【要点梳理】要点一、平均变化率问题1・变化率事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值雹如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值;2.平均变化率一般地，函数f（x）在区间［册,血］上的平均变化率为：一兀2_曲要点诠释：①本质：如果函数的自变量的“增量”为山，且心=七一坷，相应的函数值的“增量”为Ay,=—则函数/（劝从西到兀?的平均变化率为型=/虫）一化兀）
2、Arx2一x}②函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.即递增或递减幅度的大小。对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义。如位移运动中，位移S（m）从h秒到3秒的平均变化率即为11秒到（2秒这段时间的平均速度。高台跳水运动中平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，要想更精确地刻画物体运动，就要研究某个时刻的速度即瞬时速度。3•如何求函数的平均变化率求函数的平均变化率通常用“两步”法：①作差：求出纫=/（兀2）-/（兀1）和Ax=X2-%!②作商：对所求得的差作商，即0=/（兀）一/（石）。心x2-占要点诠释：1
3、.心是可的一个“增量”，可用可+心代替兀2,同样=2.□兀是一个整体符号，而不是U与兀相乘。3.求函数平均变化率时注意nx,ny,两者都可正、可负，但□兀的值不能为零，口y的值可以为零。若函数y=f（x）为常函数,贝iJQy=O.要点二、导数的概念定义：函数/（兀）在x=x0处瞬时变化率是lim绥=lim虫上竺匕世』，我们称它为函数=/（%）Axt（）心tOAr在兀二处的导数，记作fx{}）或）4卡即厂比口曲鱼=lim血也匕血Ar->oAxwoAr要点诠释：①增量心可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0。心TO的意义：心与0之间距离要多近有多近，即
4、心-0
5、可
6、以小于给定的任意小的正数。②心TO时，Ay在变化中都趋于0,但它们的比值却趋于一个确定的常数。即存在-个常数与绥二〃。+心）7（和无限接近。AxAr③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率。要点三、求导数的方法:求导数值的一般步骤：①求函数的增量：Ay=/（x04-Ax）-/（x0）；②求平均变化率：冬=/（兀0+山）-/（兀0）；AxAr③求极限，得导数：厂（％）=lim0=lim兀兀+山）_/（兀）心to心aatoAx也可称为三步法求导数。【典型例题】类型一：求平均变化率例1.（2015春河池期末）
7、函数/（x）=41x从兀=*到x=2的平均变化率为（）2A.2B.-3C.BlD.723【答案】B【思路点拨】求出从x=丄到x=2的增量Ay=/（2）-/（-）,然后利用平均变化率的公式求出即可。2x£=2-1=1,22【解析】函数/（%）从x=-到x=2的增量Av=/⑵一/（-）=225）从“抄=2的平均变化率为缶右€2故选：Bo【总结升华】由于平均变化率是函数值增量与自变量增量之比，所以求函数从x=x0到风=上的平均变化率问题，就是求鱼=兀心+心）_/（兀0）的值。心Ar举一反三:【变式1](2016秋A.1B.2【答案】C2和平区期末)己知函数y=-,当x由
8、2变为1.5时，函数的增量为(x13C・一D.—322函数v=-,当x由2变到1.5时，函数的增量为x22_4故选C。°1【变式2】求y=2«r+l在兀°到兀。+心之间的平均变化率，并求x0=1,Ar=-时平均变化率的值.【答案】当变量从坷变到坷+心时，函数的平均变化率为/(Xo+Ax)-/(Xo)=[2(心+Ax)?+1]-[2兀+1]=4丫+心心一山-“°当兀o=l，心=丄时，平均变化率的值为：4xl+2x-=5.22【变式3】已知函数fd)二一/+兀的图象上的一点A(-1,一2)及临近一点B(-1+心，一2+0),则化Ax【答案】*•*—2+△『=—(―1+
9、心)~+(―1+Ax),...△『=-(-1+3+(-1+心)+2二3心ArAr类型二：利用定义求导数值例2(1)求函数/(%)=3x2在戸1处的导数.(2)求函数fix)=-x2^-x在兀=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.【解析】⑴Ay=/(I+Av)-/(I)=3(14-Ax)2-3=6Ax4-3(ZVt)2冬=W+3(Ax)~=§+3Ay,lim(6+3Av)=6,即/(I)=6・ArArJ所以函数/(x)=3%2在尸1处的导数为6・(2〉依照定义，几r)在兀=-1的平均变化率，为两增量之比,需先求—f(xo+Ax)—f(%0)——(—1+Ax)
10、2+(—1
