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1、第23届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答一、参考解答：解法一小球沿竖直线上下运动时，其离开玻璃管底部的距离h随时
2、'可t变化的关系如图所示.设照片拍摄到的小球位置用A表示，A离玻璃管底部的距离为加，小球开始下落处到玻璃管底部的距离为H.小球可以在下落的过程中经过4点，也可在上升的过程中经过A点•现以厂表示小球从最高点（即开始下落处）落到玻璃管底部所需的吋间（也就是从玻璃管底部反跳后上升到最高点所需的时间），r,表示小球从最高点下落至A点所需的时间（也就是从A点上升至最高点所需的时间），①表示小球从4点下落至玻璃管底部所需的时间（也就是从玻璃管底部反跳后上升至A点所需的时间）
3、.显然，r,+r2=r.根据题意，在时间间隔厂的起始时刻和终了时刻小球都在A点.用n表示时间间隔T内（包括起始时刻和终了时刻）小球位于4点的次数522）.下而分两种情况进行讨论：1.A点不正好在最高点或最低点.当n为奇数时有T=(77-1)7-!+(n-l)r2=(7?-l)r刃=3,5,7,(1)在（1）式中，根据题意6可取0屮的任意值，而72=2,4,6,(3)(2)当n为偶数时有T=刃6+（斤一2）可=眄+（比一2”2由（3）式得：右=r2(4)由（1）、（3）、（4）式知，不论〃是奇数还是偶数，都有T=(nn=2,3,4,(5)因此可求得，开始下落处到玻璃管底部的距离
4、的可能值为若用表示与/?对应的H值，则与相应的A点到玻璃管底部的距离计^=2,3,4,（7）当乃为奇数时，升可取0vqVT中的任意值，故有IT]H=一尺——25—1丿〃二3,5/7，•…(8)可见与相应的hA的可能值为0与之间的任意值.当八为偶数时，由（6）式、（7）式求得H“的可能值“2,4,6,…(9)n=2,3,4,•…(10)1.若A点正好在最高点或最低点.无论斤是奇数还是偶数都有：T=2（/7-l）r〃=2,3,4，•…(11)(13)hA=Hn或：hA=0评分标准：本题23分求得（1）式3分，（3）式3分，（4）式2分，（5）式3分；求得（6）式得2分；求得（8）
5、、（9）式各得3分；（10）、（11）、（12）、（13）式各1分.解法二因为照相机每经一时间间隔厂拍摄一次时，小球都位于相片上同一位置，所以小球经过该位置的时刻具有周期性，而且T和这个周期的比值应该是一整数.下而我们就研究小球通过某个位置的周期性.设小球从最高点（开始下落处）落下至管底所需时间为e从最高点下落至相片上小球所在点（A点）所需时间为耳，从4点下落至管底所需时间为①，则（小球上升时通过相应路程段所需时间与下落时同一路程所需时间相同，也是万、r,和q）从小球在下落过程中经过A点时刻开始，小球经过的时间后上升至A点，再经过吋间2行后又落到A点，此过程所需总吋间为2r.
6、+2r2=2r.以后小球将重复这样的运动.小球周期性重复出现在A点的周期是多少？分两种情况讨论：（1）.可工厂2，右和4都不是小球在A点重复出现的周期，周期是2°.（2）.7-j=r2,小球经过吋间2r2=r回到A点，再经过吋间2r）=r又回到A点，所以小球重复出现在A点的周期为u下而就分别讨论各种情况中H的可能值和A点离管底的距离hA的可能值.（如果从小球在上升过程屮经过A点的时刻开始计时，结果一样，只是耳和◎对调一下）1.H的可能值（1）.较普遍的情况，巧"・丁与加的比值应为一整数，7■的可能值应符合下式£=1,2,3,(2)由自由落体公式可知，与此相应的的数值为(T_3
7、£=1,2,3,(3)（2）.r,=r2.1■的可能值应符合下式"=1,2,3,(4)1i（T故乞‘的可能值为：H严一g宀一g-r=1,2,3,（5）22k）当亡为偶数时，即Q=2,4,6,时，（5）式与（3）式完全相同.可见由（3）式求得的H(6)的可能值包含了可"的全部情况和r,=r2的一部分情况.当L为奇数时，即/=1,3,5,时，rtl（5）式得出的H的可能值为：Hk.=-g2它们不在（3）式之内，故（3）式和（6）式得出的H合在一起是H的全部的可能值.1.与各H值相应的心的可能值久与相应的心的可能值由于在求得（3）式时未限定A点的位置，故他的数值可取0和H&Z间
8、的任意值，即0
