27届物理竞赛复赛试题答案

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1、27届物理竞赛复赛试题答案2010年第27届全国物理竞赛复赛试题答案一、参考解答：　　1．以表示第i个单摆的摆长，由条件（b）可知每个摆的周期必须是40s的整数分之一，即　　　　　　　　　　　　　　　　（Ni为正整数）（1）[(1)式以及下面的有关各式都是在采用题给单位条件下的数值关系.]由(1)可得，各单摆的摆长　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2）依题意，，由此可得（3）即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4）因此，第i个摆的摆长为（5）i12345678910li/m0.9930.9010.8210.7510.6900.6350.5880.5450.5

2、070.472　　2．评分标准：本题15分．　　第1小问11分．（2）式4分，（4）式4分，10个摆长共3分．　　第2小问4分．二、参考解答：　　设该恒星中心到恒星－行星系统质心的距离为，根据题意有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1）将有关数据代入（1）式，得．又根据质心的定义有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2）式中为行星绕恒星做圆周运动的轨道半径，即行星与恒星之间的距离.根据万有引力定律有　　　　　　　　　　　　　　　　　　（3）由（2）、（3）两式得　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4）[若考生用表示行星到恒星行星系统质心的距离，从而把(2)式写为

3、，把(3)式写为，则同样可得到(4)式，这也是正确的.]利用（1）式，可得　　　　　　　　　　　　　　　　　（5）（5）式就是行星质量所满足的方程．可以把(5)试改写成下面的形式（6）因地球绕太阳作圆周运动，根据万有引力定律可得　　　　　　　　　　　　　　　　　　（7）注意到，由（6）和（7）式并代入有关数据得　　　　　　　　　　　　　　　　　(8)由（8）式可知由近似计算可得（9）由于小于1/1000，可近似使用开普勒第三定律，即　　　　　　　　　　　　　　　　　　（10）代入有关数据得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（11）评分标准：本题20分．　　（1）式2分，

4、（2）式3分，（3）式4分，（5）式3分，（9）式4分，（11）式4分．三、参考解答：　　解法一　　一倾角为的直角三角形薄片(如图1所示)紧贴于半径为的圆柱面，圆柱面的轴线与直角三角形薄片的沿竖直方向的直角边平行，若把此三角形薄片卷绕在柱面上，则三角形薄片的斜边就相当于题中的螺线环．根据题意有（1）可得　　　　　　　　，（2）　　设在所考察的时刻，螺旋环绕其转轴的角速度为，则环上每一质量为的小质元绕转轴转动线速度的大小都相同，用u表示，（3）该小质元对转轴的角动量整个螺旋环对转轴的角动量　　　　　　　　　　　　　　　　（4）　　小球沿螺旋环的运动可视为在水平面内的圆周运动和沿竖

5、直方向的直线运动的合成．在螺旋环的角速度为时，设小球相对螺旋环的速度为，则小球在水平面内作圆周运动的速度为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（5）沿竖直方向的速度　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（6）　　对由小球和螺旋环组成的系绕，外力对转轴的力矩为0，系统对转轴的角动量守恒，故有（7）由（4）、（5）、（7）三式得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（8）在小球沿螺旋环运动的过程中，系统的机械能守恒，有（9）由（3）、（5）、（6）、（9）四式得（10）解（8）、（10）二式，并利用（2）式得（11）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（12）由（6）、

6、（12）以及（2）式得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（13）或有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（14）（14）式表明，小球在竖直方向的运动是匀加速直线运动，其加速度　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（15）若小球自静止开始运动到所考察时刻经历时间为，则有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（16）由（11）和（16）式得（17）（17）式表明，螺旋环的运动是匀加速转动，其角加速度（18）　　小球对螺旋环的作用力有：小球对螺旋环的正压力，在图1所示的薄片平面内，方向垂直于薄片的斜边；螺旋环迫使小球在水平面内作圆周运动的向心力的反作用力．向心力

7、在水平面内，方向指向转轴C，如图2所示．、两力中只有对螺旋环的转轴有力矩，由角动量定理有（19）由（4）、（18）式并注意到得（20）而　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（21）由以上有关各式得（22）小球对螺旋环的作用力　　　　　　　　　　　　　　　　（23）评分标准：本题22分．　（1）、（2）式共3分，（7）式1分，（9）式1分，求得（11）式给6分，（20）式5分，（22）式4分，（23）式2分．解法二　　一倾角为的直角三角形薄片(如图1所示)紧贴于半径为的圆柱面，圆柱面的轴