1第13讲关于“确定毒品走私船位置”问题的数学模型

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1、第13讲关于“确定毒品走私船位置”问题的数学模型□苏淳本讲介绍AMCM-88问题A及其解答，这是一个关于搜索走私船的问题，是由美国加州ClaremontMxckenna学院的J.A.Ferling提供的.供题人提到：“这是一个分类（分组问题）的修正简化形式，原问题和现在简化的问题都还没有一种已知的最优解法・”因此我们这里所介绍的解答只能是相对最优的.这个问题的内容是：确定毒品去私船的位置相距5.43哩的监听站收听到一个短暂的无线电讯号•收听到讯号的时候测向仪分别定位在111和119处（见图），测向仪的精度为±2"・该讯号來自一个毒品交换活跃的地方，据推测该处有一只机动

2、船正等着有人來取毒品•当时正值黄昏、无风、地潮流，一架小型直升飞机离开监听站①的简易机场并能精确地沿111°角方向飞行•直升飞机的飞行速度是走私船的三倍.在离船500英尺时船上能听到直升飞机的声音•直升飞机只有一种侦察仪器一一探照灯•在200英尺远的地方探照灯只能照明半径为25英尺的圆域.1、说明飞行员能找到正等着的毒品船的（最小）区域.2、研究一种直升飞机的最佳搜索方法.在你的计算屮要有95%的精度.关于这个问题，在AMCM-88共收到了81篇论文，其屮有两篇被列为优秀论文，我们在此介绍其屮的一篇，材料取自TheUMAPJournal,Vol.9（1988）,No,

3、4,p319—338,并参阅了清华大学应用数学系宋斌恒的译文（发表于《工科数学》专辑：“数学建模教育与国际数学建模竞寒赛”，叶其孝主编，1994年8月，合肥）.§1概述有两个监听装置接收到了发自海洋屮某处的同一无线电信号，认定信号來自一艘等待交接毒品的走私船•问：在没有雷达帮助的情况下，如何派一架直升飞机前往搜索以找到走私船？根据对走私船逃跑方式的不同假设，作者们主要引入了两种不同的数学模型，并给出了不同的搜索方案.模型一假设走私船将沿着与直升机飞行线路相垂直的方向逃走，船无运动尾波.在该模型屮，把船所可能在的地方视为一条射线（即船意沿着某一固定方向运动），而直升机则

4、意是朝走私船停留可能性最大的区域飞行.模型二假设船在刚一听到直升机的声音时就开始逃走，且留下尾波.直升机将沿Z字形路线搜索留有尾波的区域.但因航程有限，直升机不能在搜索完该区域后返航，这是这个模型的弱点•尽管如此，作者计算表明，用此方法仍有91%的可能性发现走私船•因此作者认为仍以此方案为最佳，并且认为，若能装上雷达或增加直升机的航程，则会使找到走私船的可能性非常接近于100%.此外，作者们还讨论了其他各式各样的模型，简要地分析了它们的优缺点，这此模型包括不同的逃跑方式和各种不同的搜索路径.这些模型屮最基本的要素是：能否发现船的尾波•如果风平浪静，则尾波极易被发现；但

5、如果有点小风，则尾波会被掩盖在其他波Z屮.§2模型的假设条件作者们根据各方面的有关知识以及所了解到的有关情况，对模型提出了如下一些假设：1、角度分布是正态的.2、直升机同小的军用直升机OH-58Kiowa相似.a.缉私人员可发现在探照灯覆盖的以200英尺为半径的圆内所有物体；b、航速140.4英里/小时，航程287.5英里;c、直升机不返回基地加油，因为毒品可能在直升机返航时转移;d、飞行高度不变.3、毒贩在看到直升机或探照灯之前可以听到直升机的声音.4、缉私人员不能发现在探照灯范围外的船.5、走私船可能用以下三种方式逃跑：a^沿随机方向；b、沿与第一次传来直升机声音

6、的相反方向；c、沿与直升机飞行路线的垂直方向.6、船可能或不可能产生尾波，若产生：a、船不能在水上滑飞；b、可探测到的三种尾波(0°,19.5°,-19.5°)；c^尾波在无限长时间内存在d、尾波在船的初始位置之后不扩散；e、尾波以等速向前推进.§3概率分析作者假定雷达探测器(接收器)所观察的角度服从正态分布.周知，均值为“,标准差为b的正态分布N(“q2)的密度函数为而落在以均值“为中心，长度为4(7的区间(〃-2(7,“+2(7)的区间内的概率为95%•既然题中指出探测器的精度是±2。，因此如果将其理解为(“-2。,“+2。)的区间是95%的置信区间，则表明分布中

7、的标准差cr=l°・因此，两个观察站所测量的角度分别具有密度函数/°(0)=exp[---29°)2]/V2^,-oov°v+oo.由于两个观察站的观察是相互独立地进行的，所以&与。是相互独立的随机变量，因此它们的联合密度为&（&）与几（0）的乘积，即g（e,（p）=exp{_*[（&-20°）2+（0-29°）2]}/2%_8V0,°V+8在这里，作者们将海岸线取为y轴（南北走向），并将北边的一个观察站取为原点（0,0）,于是另一个观察站位于点（0,・5.4）处（见图13-2）,并且&和0都是与兀轴正方向的夹角•作者们还算出了各条射线Z间的交点坐标