【教学设计】《一元二次方程的根与系数的关系》（沪科）

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1、《一元二次方程的根与系数的关系》♦教材分析本节课是在学习了一元二次方程的求根公式及根的判别式的基础上进行的，上两节己揭示了方程的根是由方程的系数决定的：本节进一步探究方程两根之和及两根之积与方程系数的关系，它集中反映了一元二次方程两根的基本对称式与系数之间的关系。它是今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。利用这一关系可以解决许多问题，同时在高屮数学的学习屮有着更加广泛的应用。♦教学目标【知识与能力目标】1.学握一元二次方程根与系数的关系；2.能运用根与系数的关系解决具体问

2、题。【过程与方法目标】经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程，体验观察一发现一猜想一验证的思维转化过程，培养学生分析问题和解决问题的能力。【情感态度价值观目标】通过观察、归纳获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，理解事物间相互联系、相互制约的辩证唯物主义观点，掌握由“特殊般一一特殊”的数学思想方法，培养学严勇于探索的精神。♦教学重难点【教学重点】一元二次方程根与系数的关系及其应用0【教学难点】探索一元二次方程根与系数的关系。♦课前准备多媒体。♦教学过程一、情境导入，初步认识问题请完成下血的表

3、格方程兀2Xj+x2Xj•x2x2-2x-3=0x2-5x+6=02x2-3x+l=0观察表格中的结果，你有什么发现?二、思考探究，获取新知通过对问题情境的讨论，可以发现方程的两根之和和两根之积与它们的系数之间存在一定的联系，请运用你发现的规律填空：⑴已知方程x2-4x-7=o的根为X1,X2,则Xi+x2=,X1•X2=；⑵已知方程x2+3x-5=o的两根为Xi,X2,则X1+X2二,Xi・X2二.答案：(1)4,-7；(2)-3,-5。思考1(1)如果方程x2+mx+n=0的两根为xi,x2,你能说

4、说X1+X2和Xi•X2的值吗?(2)如果方程axz+bx+c=O的两根为xi,x2,你知道xi+x?和Xi•X2与方程系数之间的关系吗？说说你的理由。【归纳结论】根与系数的关系：bc若一元二次方程ax2+bx+c=0(a^O)有两实数根x“x2,贝0xi+x2=-—,Xi•x2=—•这表aa明两根z和为一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根z积等于常数项与二次项系数的比。思考2在运用根与系数的关系解决具体问题时，是否盂要考虑根的判別式A=b2-4ac^o呢？为什么？三：典例精析，应用新知例1：根据一

5、元二次方程根与系数的关系，求下列方程两根xl,x2的和与积.(1)x2-6xT5二0(2)3x2+7x-9二0(3)5x-l二4x2解：根据根与系数关系可得：xl+x2二6,xl•x2二-15,_7xl+x2=3,xl・x2二-3,化为一般形式为：4x2-5x+l二0_5丄.xl+x2=4,xl・x2二4,例2已知方程x2-x+c=0的一根为3,求方程的另一根及c的值。分析：设方程的另一根为xl,可通过求两根之和求出xl的值；再用两根之积求c,也可将x二3代入方程求出c值.再利用根与系数关系求xl值。

6、解：设方程另一根为xl,由xl+3二1,xl=-2.又xl•3二-2X3二c,・：c二-6。例3已知方程x2-5x-7=0的两根分别为xl,x2,求下列式子的值:玉+玉(1)xl2+x22；(2)吃xi。分析：将所求代数式分别化为只含有xl+x2和xl・x2的式子后，用根与系数的关系,可求其值。解：・.•方程x2-5x-7二0的两根为xl,x2,・・・xl+x2二5,xl・x2二-7.(I)xl2+x22=(xl+x2)2-2x1•x2=52~2X(-7)=25+14=39;西+兀2xr+x2~_39x

7、2二x{x27例4已知xl,x2是方程x2-6x+k=0的两个实数根,且xl2・x22-xl-x2=115,(1)求k的収值；(2)求xl2+x22-8的值。分析：将xl+x2=6,xl-x2=k,代入xl2*x22-xl-x2=115可求出k值.此时需用A=b2~4ac来判断k的取值，这是本例的关键。解：(1)由题意有xl+x2=6,xl*x2=k./.xl2•x22-xl~x2=(xl*x2)2-(xl+x2)=k2-6=l15,・・・k二11或k二-11。又・・•方程x2-6x+k=0有实数解,/

8、.A=(-6)2-4k>0,Ak^9.Ak=ll不合题意应舍去，故k的值为T1；(2)由(1)知,xl+x2=6,xl・x2=-ll,・・・x12+x22-8二(xl+x2)2-2x1x2-8二36+22-8二50。四、运用新知，深化理解1.若xl,x2是方程x2+x-l二0的两个实数根，则xl+x2=,xl・x2二；2.已知x=l是方程x2+mx-3二0的一个根，则另一个根为，m二;3.若方程x2+ax+b二0的两根分别为2和-3,则G,