【二轮系列之三道题】经典专练9:圆锥曲线之二面积问题(理)(教师版)

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1、如图,N(1,O)是圆M:(兀+l『+b=i6内—个定点,P是圆上任意一点,线段NP的垂直平分线和半径MP相交于点

2、QM

3、+

4、QN

5、=

6、QM

7、+

8、QP

9、=

10、MP

11、=4>2=

12、M7V

13、,根据椭圆的定义得点Q的轨迹£是以M、W为焦点的椭圆,22.•.d=2,c=73,.*./?=],轨迹方程为十+刍=1,(2)由题意知=2x^-xA

14、Bd=dAB(d为点0到直线/的距离),乙消去y得(3+4疋疋+8总_8=0,y=匕+1设2的方程为y=kx+,联立方程得〒于——+—=1〔43一弘3+4疋—83+4“贝

15、JAB=1+k2•J(X]+兀2『一4召兀2=4«・J1+2&2.Ji+以3+4/••S/ARD=〃ABJ1+2"3+4疋-令J1+2以,由k2>0,得宀1,••Smbd=o西:=~1»易证〉'=2f+'在(l,+8)递增‘2/+3,2r+2r+-11•••/ABD面积S的最大值已知椭圆C:二+£=1(d>b>0)的左顶点为M,上顶点为N,直线2x+y-6>/3=(

16、)与直线MN垂直,(「b~垂足为B点,且点N是线段MB的中点.(I)求椭圆C的方程;⑵如图,若直线/:y=kx+m与椭圆C交于E,F两点,点G在楠圆C上,且四边形OEGF为平行四边形,求证:四边形OEGF的面积S为定值.22【答案】(1)醫+才T;⑵3羽.【解析】(1)由题意知,椭圆C的左顶点M(-g,0),上顶点N(0"),直线MN的斜率k=-a得a=2b・因为点W是线段MB的中点,・••点3的坐标是B仏2b),由点B在直线2x+y-6巧=0上,2a+2b=3>/2,S.a=2b,解得b=",a=2^3,X2y2・°・椭圆c的方程为=1.123⑵设E

17、(x】,yJ,F(x2,>2).G(兀o,%),将y=kx+m代入醫+〒=1消去『并整理得(1+4/)兀2-Sknvc+4m2-12=0则兀]+兀2=一Skm1+4疋4m2-121+4疋y}+y2=£(无]+氐)+2m=2ml+4f•••四边形OEGF为平行四边形,OG=OE+OF=(x,+x2,y+)q),8km1+4疋3将G点坐标代入椭圆C方程得府=才(1+4疋),m点。到直线EF的距离切帀,阿•••平行四边形OEGF的面积为S=d•EF=mx}-x2=m=4~41+4/故平行四边形OEGF的面积S为定值3馆.如图,已知椭圆C:琴试):22务+*

18、=1(。〉方〉0),其左右焦点为片(—1,0)、传(1,0),过点£的直线交椭圆C于A,B两点,线段AB的中点为G,AB的中垂线与兀轴和y轴分别交于D、E两点,且AF}.F}F2.AF2构成等差数列•(1)求椭圆C的方程;(2)记的面积为S「'OED(O为原点)的面积为S?,试问:是否存在直线AB,使得S.=12S2?说明理由.22【答案】(1)椭圆c的方程为7+1=1;(2)方程为y=土的(兀+1).43【解析】(1)因为

19、A片

20、、闪场

21、、卜何

22、构成等差数列,所以2a=人引+»笃

23、=2

24、片笃=4,所以°=2,?2又因为c=l,所以八3,所

25、以椭圆C的方程为十牛1.(2)假设存在直线AB,使得5,=12S2,显然直线AB不能与兀,y轴垂直.设A3方程为丁=灯/+1)仏工0),将其代入才+专=1,整理得(4疋+3)宀8啓+4疋一12=0,_肿设A(X

26、,y)‘3(花,力),所以舛+兀2=碌2+3故点G的横坐标为宁侥,所以G(4疋+3‘4/+3)'3k2解得补乔不’即D设D(兀d,°),因为DG丄AB,所以一•k=-l,企+3丿VRtAGD/^和RtAODE相似,且^=125.,贝ij

27、GD

28、=2的

29、0刖,'-k2-4k2、#+3一4疋+3丿、23k、4疋+3丿=2^3整理得一3疋+9=(),

30、因此k2=3,k=±/3,所以存在直线AB,方程为y=±V3(x+l).

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