“数学思维能力”培养的有效途径----解题的教学

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1、“数学思维能力”培养的有效途径--解题的教学董楠楠内蒙古通辽市第五中学【摘要】数学思维能力是学牛学习数学的灵魂所在，而对于数学思维的培养,习题的解决是最好的方法之一。木文论述了一节高三习题课，通过一题多解，使学牛的数学思维能力得到了提升与发展。【关键词】数学思维能力一题多解构造【中图分类号】G632【文献标识码】A【文章编号】1674-4810(2010)07-0136-02接到中国教育学会“十一五”科研规划重点课题《名师教学思想与教法研究》的子课题《在数学教学中培养思维能力的研究》任务后，木人

2、进行了仔细的思考，一时不知从哪里下手，怎样才能完成科研任务呢？经过多次的实验后发现，解题的教学对学生“思维能力的培养”是一种非常有效的途径。因为数学的学习是离不开解题的，学牛学习数学主要的应用就是解决数学习题，通过对解题过程的体验，可使学牛逐步提高思维能力。通过对学牛情况的分析、多次的实验、反复的归纳总结，我得出了解题教学中培养学牛思维能力的基木教学方法。下面就高三第一轮复习中的一节习题课，谈谈自己的做法。这节课我选择了两道典型例题，每一道题都鼓励学生积极思考，努力探究习题的解法，并逐步引领学牛

3、从多角度去审视问题、去分析所用知识的来龙去脉，把握知识的内在联系，使知识得到了广泛的综合，有效的培养了学生数学思维能力。题目：已知单位圆x2+y2=l以及圆外一点P(4,2),由P向圆引切线，切点分别是A、B,求AB所在肓线方程。［方法一］掌握常规，夯实“双基”。教学过程：师：看到题目，我们可以知道A、B两点是切线与单位圆的切点(见图1),那么能否先求A、B两点的坐标，再用两点写出直线AB的方程？图1生：由于直线过点P(4,2),故可设出切线方程为：y—2=k(x-4)由直线和圆相切的位置关系可

4、得切线的方程，再与圆的方程联立方程组求出点A、B的坐标，完成直线AB的方程。师：好吧，我们按照这位同学的方法来解这个习题。解：设切线的方程为y—2=k(x-4)利用圆心到直线距离等于半径这个性质得：

5、.41k++k2

6、=12由此求出未知量k,即可以求出切线方程，进而可以求出切点A、B的坐标，再利用直线的两点式写出直线AB的方程。注：这种方法主要是考查学生对基本知识点的掌握程度，是在求解切点A、BP寸的计算量过人，学生不容易得出结果。所以建议学生不采取这种方法，故没有给出具体的过程。此吋，问题便深

7、入到寻求简捷解法的思考中了。［方法二］变式引领，开放探究。教学过程：师：由图2可知，由于PA、PB是圆的两条切线，那么它们会产生哪些位置关系？生：连接OA、0B,可知：0A⊥AP,OB⊥PB；师：由这两个垂直关系，可以得到怎样的结论？生：可以得到0、P、A、B四点共圆，且0P为直径。师：那么，这样就可以使得直线AB成为两个圆的公共弦所在直线了；故可用两圆公共弦所在直线方程的方法求之。下面我们求解。解：以0P为直径构造一个新圆，圆心坐标(2,l)o半径r=142+22=52即新

8、圆的方程为：(x-2)2+(y-1)2=5则A、B成为新圆(x—2)2+(y—1)2=5与单位圆x2+y2=l的交点,由方程组(•.…xx2.+2y)22=+(ly.l)2=5中两个方程相减，可得公共弦所在直线AB的方程为：4x+2y—l=0o注:此方法激活了学生的思维，开阔了思路，调动了学生思维的积极性。思维的火花一旦点燃，便有燎原之势。有的同学很快又发现，还可以构造另外一个新圆，使得直线AB亦成为公共弦所在直线。［方法三］类比探究，扩大成果。通过对方法二的分析，有的学生发现了这个条件。于是马

9、上想到，若以PA为半径构造新圆，同样可以使直线AB成为公共弦所在直线。(见图3)教学过程：解：设以PA为半径作圆，可知：图3圆心P(4,2),半径r=P02.1=19则圆方程为：(x-4)2+(y-2)2=19.1同样由方程组(….xx2.+4y)22=+(y.2)2=19中两方程相减，亦可得到弦AB所在直线方程为：4x+2y—1=0。注：这样做到了同一种思维下的不同方法，培养了学生思维的深刻性与发散性。［方法四］转换视角，能力提升。教学过程：师:若设切点A(xl,yl)、B(x2,y2),则过

10、点A、B的切线方程如何设出？生：设过点A的切线IPA：xlx+yly=l切线IPB：x2x+y2y=l师：那么P点有什么特征？生：点P是直线PA与直线PB的交点，于是得：4xl+2yl=l4x2+2y2=l师：看到这两个方程，可以知道什么？生：点A、点B在直线4x+2y=l±,由两点确定一条直线，可知直线4x+2y=l为所求的直线方程。注：这种方法使学生在探究、解决问题的过程中思维得到了锤炼，上升到了一个更高的层次。通过一题多解的教学，使学生在知识点上达到了最大限度的融会贯通,训练了学生的综合应