北师大版数学九上《你能证明它们吗》word学案.doc

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1、1.1你能证明它们吗学习目标、重点、难点【学习目标】1、等腰三角形的性质定理及推论;2、等腰三角形的判定定理及推论.【重点难点】1、等腰三角形的性质定理及推论;2、等腰三角形的判定定理及推论.3、反证法知识概览图等腰三角形性质定理:等边对等角判定定理:等角对等边推论:(1)等腰三角形“三线合一”(2)等边三角形的每个角都等于60°推论:(1)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形(2)三个角都相等的三角形是等边三角形(3)在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半新课导引如下图所示,很多古代建筑以及我们居住的一些房屋的屋顶都是人字形梁架.【问题探究】上面叙述的人字形梁架

2、是由哪些图形组成的呢?它们有哪些性质?教材精华知识点1等腰三角形的性质定理等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等(简述为等边对等角).用符号语言表示为:如图1-1所示,在△ABC中,∵AB=AC,∴∠B=∠C.定理的证明:取BC的中点D,连接AD.∵∴△ABD≌△ACD(SSS).∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).定理的作用:证明同一个三角形中的两个内角相等.拓展等腰三角形还具有其他性质.(1)等腰直角三角形的两个底角相等,都等于45°.(2)等腰三角形的底角只能是锐角,不能是钝角或直角,但顶角可以是锐角、钝角或直角.(3)等腰三角形的三边关系:设腰长为a,底边长为b

3、,则<a.(4)等腰三角形的三角关系:设顶角为∠A,底角为∠B,∠C,则∠A=180°-∠B-∠C=180°-2∠B=180°-2∠C.知识点2等腰三角形的性质定理的推论推论1:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”).(1)用符号语言表示为:如图1-3所示,①在△ABC中,∵AB=AC,∠1=∠2,∴AD⊥BC.BD=DC;②在△ABC中,∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠1=∠2,BD=DC;③在△ABC中,∵AB=AC,BD=DC,∴∠1=∠2,AD⊥BC.(2)推论1的证明.①在△ABC中,∵AB=AC,∠1=∠2,AD=AD,∴△ABD≌△

4、ACD(SAS).∴BD=DC,∠ADB=∠ADC=90°.∴AD⊥BC.②在△ABC中,∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°.∵AB=AC,∴∠B=∠C.又AD=AD,∴Rt△ADB≌Rt△ADC(AAS).∴∠1=∠2,BD=CD.③在△ABC中,∵AB=AC,AD=AD,BD=CD,∴△ABD≌△ACD(SSS∴∠1=∠2,∠ADB=∠ADC=90°,∴AD⊥BC.(3)推论1的作用:证明角相等、线段相等或垂直.推论2:等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60°.(1)用符号语言表示为:如图1-4所示,在△ABC中,∵AB=BC=AC,∴∠A=∠B=∠C=60°.

5、(2)推论2的证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵AB=BC,∴∠A=∠C.∴∠A=∠B=∠C.又∵∠A+∠B+∠C=180°,即3∠A=180°,∴∠A=∠B=∠C=60°.知识点3等腰三角形的判定定理等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形(简述为等角对等边).用符号语言表示为:如图1-6所示,在△ABC中,∵∠B=∠C,∴AB=AC判定定理的证明:如图1-6所示.过A作AD⊥BC于D,则∠ADB=∠ADC=90°.∵∠B=∠C,AD=AD,∴△ABD≌△ACD(AAS),∴AB=AC.√判定定理的作用:证明同一个三角形中的边相等.拓展如图1-6所示,在△ABC中

6、(1)如果AD⊥BC,∠1=∠2,那么AB=AC;(2)如果AD⊥BC,BD=DC,那么AB=AC;(3)如果∠1-∠2,BD=DC,那么AB=AC.知识点4等腰三角形的判定定理的推论推论1.(1)推论1的内容:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.(2)用符号语言表示为:如图1-8所示,在△ABC中,∵AB=AC,∠A=60°(或∠B=60°或∠C=60°),∴AB=AC=BC.(3)推论1的证明:在△ABC中,∵AB=AC,∴∠B=∠C.又∵∠A=60°,∴∠B=∠C==60°∴AB=AC=BC.(或∵∠B=60°,∴∠A=180°-2∠B=60°.∴AB=AC=BC.或

7、∵∠C=60°,∴∠A=180°-2∠C=60°.∴AB=AC=BC.)√推论2.(1)推论2的内容:三个角都相等的三角形是等边三角形.(2)用符号语言表示为:如图1-8所示,在△ABC中,∵∠A=∠B=∠C,∴AB=AC=BC.(3)推论2的证明:在△ABC中,∵∠A=∠B,∴BC=AC(等角对等边).又∵∠B=∠C,∴AB=AC(等角对等边).∴AB=AC=BC.(4)推论1和推论2的作用:证明一个三角形是等边三角形.拓展判定一个三角形是等边三角形主要有以下三种方

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