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《4.1 圆的方程3.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、圆的方程1．基础知识：（1）圆方程的几种形式：标准方程、一般方程（圆的判别式D2+E2-4F>0）（2）直线与圆的位置关系：相交两点、相切、相离（3）坐标轴的平移：移轴公式例1．指出下列圆的圆心和半径（1）(x+2)2+(y-5)2=3（2）x2+y2-6x+4y+9=0解：（1）圆心(-2,5),半径r=（2）由(x-3)2+(y+2)2=4Þ圆心(3,-2)，半径r=2例2．下列方程表示什么图形？（1）x2+y2+5x-3y+1=0（2）x2+y2+4x+4=0（3）x2+y2+x+2=0解：（1）△=30>0
2、,表示一个圆（2）△=0,表示一个点(-2,0)（3）△=-7<0,不表示任何图形例3．根据下列条件求圆的方程：（1）圆心在点C(-2,1),并过点A(2,-2)（2）圆心在点C(1,3),并与直线3x-4y-7=0相切（3）过点M(0,1)和点N(2,1)，半径为解：（1）r=
3、AC
4、=5Þ圆方程为：(x+2)2+(y-1)2=25（2）r=Þ(x-1)2+(y-3)2=（3）设圆心(a,b),将M、N代如得：a=1,b=3或a=1,b=-1即圆的方程为：(x-1)2+(y-3)2=5,(x-1)2+(y+1)2
5、=5例4．平移坐标轴，将原点移到点O’(2,-3),求：（1）点P(-4,5)在新坐标系中的坐标.（2）曲线x2+y2+4x-6y+1=0解：（1）Þ点P的新坐标为(-6,2)（2）新曲线方程：x’2+y’2=122．常用解法：待定系数法、直线与圆的位置关系、圆的切线方程的求法、圆的弦长的求法例5．求过三点O(0,0),M(1,1),N(4,2)的圆的方程，并求出这个圆的圆心和半径.解：设圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，将三个点的坐标代入方程ÞF=0,D=-8,E=6Þ圆方程为：x2+y2-8x+6y=
6、0配方：(x-4)2+(y+3)2=25Þ圆心：(4,-3),半径r=5例6．已知圆的方程是x2+y2=2,直线y=x+b,当b为何值时，圆与直线有两个交点、一个交点、没有交点？解：由方程组Þ2x2+2by+b2-2=0△=-4(b+2)(b-2)∴当△>0时,即-22或b<-2,没有交点.例7．已知圆的方程是x2+y2=5,且圆的切线满足下列条件，求圆的切线方程（1）过圆上一点P(-2,1)（2）过圆外一点Q(3,1)解：（1）∴切线的法向量为
7、(-2,1),圆上一点P(-2,1)∴切线方程为：-2(x+2)+(y-1)=0Þ2x-y+5=0归纳：过圆上一点P(x0,y0)、圆心在原点的圆x2+y2=r2的切线方程为：x0x+y0y=r2.（2）设切线方程为y-1=k(x-3),则圆心(0,0)到切线的距离等于半径即Þ(1-3k)2=5(k2+1)Þk=,k=2MABdrls所求的切线方程是：x+2y-5=0,2x-y-5=0说明：本小题的方法是求圆的切线方程的一般方法.例8．求直线3x-y+2=0截圆x2+y2-2x+4y=0所得的弦长.解：∵圆方程可化
8、为：(x-1)2+(y+2)2=5∴圆心为(1,-2),半径r=,圆心到直线的距离d=即知圆的弦长l满足：l=Þ所求弦长l=练习：1．已知DABC的三个顶点为A(6,-2),B(-1,5),C(5,5),求DABC外接圆的方程.2．当m取何值时,直线3x+4y+m=0与曲线x2+y2=4有两个交点,一个交点,无交点.3．当b取何值时,直线3x-4y+b=0与圆x2+y2-2x+4y+4=0相交,相离,相切?4．已知圆的方程是x2+y2=8,由下列条件求圆的切线方程(1)过点A(-2,2).(2)过点M(3,2)（3
9、）在y轴上的截距为4.5．求直线x-y-5=0在圆x2+y2=25上截得的弦长.3．综合应用：例9．已知定点A(4,0),B为圆x2+y2=4上的一个动点,点P分线段的比为2︰1，求点P的轨迹方程.解：设点B的坐标为(x0,y0),动点P的坐标为(x,y)，则点P分线段的比l=yxoA(4,0)B(x0,y0)P(x,y)·∵B(x0,y0)在圆上,则x02+y02=4(*)由定比分点公式：Þ(**)将式(**)代入式(*)：(∴所求线段的轨迹方程是(x-)2+y2=归纳：(坐标代换法)设轨迹上的点P(x,y),已
10、知曲线上的点M(x0,y0),用中点的坐标公式将点P的坐标用点M及已知点的坐标表示，再代入已知方程化简所得方程即是所求的轨迹方程.例10．求与两平行直线x+3y-5=0和x+3y-3=0相切,圆心在直线2x+y+3=0上的圆的方程.yxo解设圆心为(a,-2a-3),则圆心到两平行直线之间的距离为圆的半径∵Þa=∴圆心坐标为(),半径r=∴所求圆的方程是:练
