高考训练专题5.2 平面向量的基本定理及坐标表示（讲）-2019年高考数学---精校解析Word版

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1、【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测平面向量的基本定理及坐标表示1.理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题.2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3．掌握平面向量的加法、减法与数乘的坐标运算.2014•浙江文22;2018•浙江9，17.1.考查平面向量基本定理、坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；2.常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查共线、垂直等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．3.备考重点：(1)理解坐标表示是基础，掌握坐标运算的方法是关键；(2)解

2、答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.【知识清单】1．平面向量基本定理及其应用平面向量基本定理如果是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算1.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．2．平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内的一个向量，由平面

3、向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得，这样，平面内的任一向量都可由x、y唯一确定，因此把叫做向量的坐标，记作，其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．(2)若，则．3．平面向量的坐标运算(1)若，则；(2)若，则．(3)设，则，.3．平面向量共线的坐标表示向量共线的充要条件的坐标表示若，则⇔.【重点难点突破】考点1平面向量基本定理及其应用【1-1】【2018届山东省日照市4月校际联合期中】在中，点是线段上任意一点，是线段的中点，若存在实数和，使得，则（）A．B．C．D．【答案】D点睛：(1)应用平面向量基本定理表示

4、向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【1-2】【2018届浙江省教育绿色评价联盟5月适应性考试】如图，在△中，点是线段上两个动点，且，则的最小值为A．B．C．D．【答案】D【解析】分析：设，由共线可得，由此,利用基本不等式可得结果.详解：如图可知x，y均为正，设，共线，，，则，，则的最小值为，故选D.点睛：利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内

5、涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.【领悟技法】1.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．2.特别注意基底的不唯一性：只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量都可被这个平面的一组基底线性表示，且在基底确定后，这样的

6、表示是唯一的．【触类旁通】【变式一】如图，已知＝，用，表示，则等于(　　)A.－B.＋C.－＋D.－－【答案】C【解析】＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，选C.【变式二】【2018届四川省资阳市4月三诊】平行四边形ABCD中，M是BC的中点，若，则（）A．B．2C．D．【答案】D考点2平面向量的坐标运算【2-1】已知向量，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】又因为，所以,故选D.【2-2】已知向量，且，则等于（）A．1B．3C．4D．5【答案】D【解析】因,,故,所以,故,故应选D.【领悟技法】注意向量坐标与点的坐标的区别：要区分点的

7、坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息．【触类旁通】【变式一】已知向量，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】因为，所以=，故选A.【变式二】在矩形中，，则实数（）A．B．C.D．【答案】D【解析】，故选D.考点3平面向量共线的坐标表示【3-1】向量且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【3-2】【2018年全国卷Ⅲ理】已知向量，，．若，则________．【答案】【领悟技法】1.向量共线的充要条件有两种：（1）⇔.（2）若，则⇔.当涉及到向量或点的坐标问题

8、时，应用（2）解题较为方便.2.两向量相等的充要条件，它们的对应坐标相等.【触类旁通】【变式一】已知向量，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，可知，解得，故选A.【变式二】设向量=，=，则“”是“//”的().A.充分而不必要条件B.必