第3讲.解析汇报几何之中点弦的题目型

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1、实用标准文案第三讲.解析几何之中点弦题型【教学目标】1.掌握两点的中点坐标公式；2.掌握韦达定理在解析几何中的应用；3.会求解解析几何中相关的中点弦问题。【知识、方法梳理】1.若，，则的中点坐标是2.一元二次方程，则有3.解析几何中遇到中点弦问题，基本解题思路是联立方程，利用韦达定理（注意判别式）【典例精讲】例1.直线与椭圆交于两点，求的中点坐标。【解析】：将直线代入椭圆，得设，中点则，，所以中点【点评】：看到中点，想到韦达定理精彩文档实用标准文案例2.设直线交椭圆于两点，且的中点为，求直线的方程。【解析】：直线斜率不存在的情况显然不可能，所以设直线代入椭圆方程，

2、整理得设，则，又因为所以，解得，经检验此时所以【点评】：联立方程利用韦达定理是解决中点问题的基本方法例3.已知双曲线与点，过点作直线与双曲线交于两点，若为中点.（1）求直线的方程；（2）若，证明不存在以为中点的弦.【解析】：（1）解：设过点的直线方程为，代入双曲线方程得设，则有由已知∴.解得.又时，，从而直线方程为.（2）证明：按同样方法求得，而当时，，所以这样的直线不存在.【点评】：注意检验的重要性，上题中中点在椭圆内部，检验精彩文档实用标准文案只是形式而已，而双曲线的情况较为复杂，检验的步骤必不可少，具体的情况我们以后会做分析。例4.若抛物线上总存在关于直线对

3、称的两点，求的范围【解析】：设对称的两点分别为，中点，考虑到直线应与垂直，设直线，联立方程得，，所以，，点也在上，所以，即代入直线，得所以方程化简为考虑到，解得例5.已知椭圆上有不同两点关于对称，求的取值范围；【解析】：设，中点，依题意被直线垂直平分，所以，设，代入椭圆，整理得则，，由于也在上，所以，考虑到有两个交点，解得所以【点评】：直线与椭圆相交的问题，通常采取设而不求，即设出，但不是真的求出，而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题.由OA⊥OB得是解决本题的关键.例6.椭圆的左、右焦点分别是，，过斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，且，，成等差数列．（

4、1）求证：；（2）设点在线段的垂直平分线上，求椭圆的方程．【解析】：（1）由题设，得，精彩文档实用标准文案由椭圆定义，所以，．设，，，：，代入椭圆的方程，整理得，（*）则，于是有，化简，得，故，．（2）由（1）有，方程（*）可化为设中点为，则，又，于是．由知为的中垂线，，由，得，解得，，故，椭圆的方程为．例7.已知抛物线,过动点且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点，且。(1)求的取值范围(2)若线段的垂直平分线交轴于点，求面积的最大值【解析】：(1)设直线的方程为：，代入抛物线方程得，即，即又，。(2)设，的中点,由(1)知，，，则有精彩文档实用标准文案∴线段

5、AB的垂直平分线的方程为,从而N点坐标为点N到AB的距离为从而当有最大值时，有最大值为。【双基训练】1.若直线与抛物线交于两点，则线段的中点坐标是_________2.设直线交椭圆于两点，且的中点为，求直线的方程。3.已知双曲线与点，问能否过点作直线与双曲线交于两点，使得为中点？若能，求出直线的方程；若不能，请说明理由。4.已知椭圆上有不同两点关于对称，求的取值范围；【纵向应用】5.已知直线与双曲线交于、点。精彩文档实用标准文案（1）求的取值范围；（2）是否存在这样的实数，使、两点关于直线对称？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由。【横向拓展】6.定义：由椭圆

6、的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”。如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比。已知椭圆。（1）若椭圆，判断与是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由；（2）写出与椭圆相似且短半轴长为的椭圆的方程；若在椭圆上存在两点、关于直线对称，求实数的取值范围？（3）如图：直线与两个“相似椭圆”和分别交于点和点，证明：【练习题答案】1.2.精彩文档实用标准文案3.能，4.5.【解析】：（1）由消去，得依题意即且（2）如果存在的话，必须满足被垂直平分，所以代入（1）中方程

7、得设，的中点，则，，即但不在上，所以不存在这样的。6.【解析】：（1）椭圆与相似。因为椭圆的特征三角形是腰长为4，底边长为的等腰三角形，而椭圆的特征三角形是腰长为2，底边长为的等腰三角形，因此两个等腰三角形相似，且相似比为（2）椭圆的方程为：-设，点，中点为，则，所以则因为中点在直线上，所以有，即直线的方程为：，由题意可知，直线与椭圆有两个不同的交点，即方程有两个不同的实数解，精彩文档实用标准文案所以，即（3）证明：①直线与轴垂直时，易得线段AB与CD的中点重合，所以；②直线不与轴垂直时，设直线的方程为：，，线段AB的中点，线段AB的中点为同理可得线段CD的中点为

8、，即线段A