高中数学 课时跟踪检测（二十）向量数量积的物理背景与定义向量数量积的运算律 新人教b版必修4

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1、课时跟踪检测（二十）向量数量积的物理背景与定义向量数量积的运算律层级一　学业水平达标1．已知▱ABCD中∠DAB＝30°，则与的夹角为(　　)A．30°　　　　　　　　　B．60°C．120°D．150°解析：选D　如图，与的夹角为∠ABC＝150°.2．已知向量a，b满足

2、a

3、＝1，

4、b

5、＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为(　　)A．B．C．D．解析：选C　由题意，知a·b＝

6、a

7、

8、b

9、cosθ＝4cosθ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝.3．已知

10、a

11、＝

12、b

13、＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，则k的

14、值为(　　)A．－6B．6C．3D．－3解析：选B　∵c·d＝0，∴(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，∴2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0，∴2k＝12，∴k＝6.4．已知a，b满足

15、a

16、＝4，

17、b

18、＝3，夹角为60°，则

19、a＋b

20、＝(　　)A．37B．13C．D．解析：选C　

21、a＋b

22、＝＝＝＝.非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。5．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是(　　)A．矩形B．菱形

23、C．直角梯形D．等腰梯形解析：选B　∵＝，即一组对边平行且相等，·＝0，即对角线互相垂直，∴四边形ABCD为菱形．6．给出以下命题：①若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0；②若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0；③a与b是两个单位向量，则a2＝b2.其中，正确命题的序号是________．解析：上述三个命题中只有③正确，因为

24、a

25、＝

26、b

27、＝1，所以a2＝

28、a

29、2＝1，b2＝

30、b

31、2＝1，故a2＝b2.当非零向量a，b垂直时，有a·b＝0，显然①②错误．答案：③7．设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e1－e2)·(

32、－3e1＋2e2)＝________.解析：(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e＋7e1·e2－2e＝－6＋7×cos60°－2＝－.答案：－8．若

33、a

34、＝1，

35、b

36、＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为________．解析：∵c⊥a，∴c·a＝0，∴(a＋b)·a＝0，即a2＋a·b＝0.∵

37、a

38、＝1，

39、b

40、＝2，∴1＋2cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝－.又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝120°.答案：120°9．已知e1与e2是两个夹角为60°的单位向量，a＝2e1＋e2，b＝2e2－3e

41、1，求a与b的夹角．解：因为

42、e1

43、＝

44、e2

45、＝1，所以e1·e2＝1×1×cos60°＝，非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。

46、a

47、2＝(2e1＋e2)2＝4＋1＋4e1·e2＝7，故

48、a

49、＝，

50、b

51、2＝(2e2－3e1)2＝4＋9－12e1·e2＝7，故

52、b

53、＝，且a·b＝－6e＋2e＋e1·e2＝－6＋2＋＝－，所以cos〈a，b〉＝＝＝－，所以a与b的夹角为120°.10．已知

54、a

55、＝2

56、b

57、＝2，且向量a在向量b

58、方向上的正射影的数量为－1.(1)求a与b的夹角θ；(2)求(a－2b)·b；(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？解：(1)∵

59、a

60、＝2

61、b

62、＝2，∴

63、a

64、＝2，

65、b

66、＝1.又a在b方向上的正射影的数量为

67、a

68、cosθ＝－1，∴a·b＝

69、a

70、

71、b

72、cosθ＝－1.∴cosθ＝－，∴θ＝.(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.(3)∵λa＋b与a－3b互相垂直，∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝.层级二　应试能力达标1．已知

73、a

74、＝2

75、，

76、b

77、＝1，且a与b的夹角为，则向量m＝a－4b的模为(　　)A．2　　　　　　　　　　B．2C．6D．12解析：选B　

78、m

79、2＝

80、a－4b

81、2＝a2－8a·b＋16b2＝4－8×2×1×＋16＝12，所以

82、m

83、＝2.非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。2．在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，则·等于(　　)A．－16B．－8C．8D．16解析：选D　法一：因为cosA＝，故·＝

84、

85、·

86、

87、cosA＝

88、

89、2＝16，故选

90、D.法二：在上的投影为

91、

92、cosA＝

93、

94、，故·＝

95、

96、

97、

98、cosA＝

99、

100、2＝16，故选D.3．若

101、a＋b

102、＝

103、a－b

104、＝2

105、a

106、，则向量a－b与b的夹角为(　　)A．B．C．D．解