高中数学 第二章 参数方程 2_2_2 圆的参数方程学案 新人教b版选修4-4

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1、2.2.2 圆的参数方程[读教材·填要点]如图,质点以匀角速度ω做圆周运动,圆心在原点,半径为R,记t为时间,运动开始时t=0,质点位于点A处,在时刻t,质点位于点M(x,y)处,θ=ωt,θ为Ox轴正向到向径所成的角,则圆的参数方程为(t≥0),也可写成(0≤θ≤2π).若圆心在点M0(x0,y0)处,半径为R,则圆的参数方程为(0≤θ≤2π).[小问题·大思维]1.方程(0≤θ≤2π)是以坐标原点为圆心,以R为半径的圆的参数方程,能否直接由圆的普通方程转化得出?提示:以坐标原点为圆心,以R为半径的圆的标准方程为x2+y2=R2,即2+2=1.令则2.参数方程(

2、0≤θ≤π)表示什么曲线?提示:表示圆心为(0,1),半径为2的圆的上半部分即半圆(包括端点).求圆的参数方程[例1] 点M在圆(x-r)2+y2=r2(r>0)上,O为原点,x轴的正半轴绕原点旋转到OM形成的角为φ.以φ为参数,求圆的参数方程.[思路点拨] 本题考查圆的参数方程的求法.解答此题需要借助图形分析圆上点M(x,非常感谢上级领导对我的信任,这次安排我向股份公司述职,既是对我履行职责的监督,也是对我个人的关心和爱护,更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。y)的坐标与φ之间的关系,然后写出参数方程.[精解详析] 如图,设圆心为O′,连接O′M

3、.①当M在x轴上方时,∠MO′x=2φ.∴②当M在x轴下方时,∠MO′x=2φ,∴即③当M在x轴上时,对应φ=0或φ=±.综上得圆的参数方程为-≤φ≤.(1)由于选取的参数不同,圆有不同的参数方程.一般地,同一条曲线,可以选取不同的变数为参数,因此得到的参数方程也可以有不同的形式,形式不同的参数方程,它们表示的曲线却可以是相同的.另外在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围.(2)确定圆的参数方程,必须根据题目所给条件,否则,就会出现错误,如本题如果把参数方程写成φ的意义就改变了.1.设y=tx(t为参数),则圆x2+y2-4y=0的参数方程是_____

4、___.解析:把y=tx代入x2+y2-4y=0,得x=,y=,∴参数方程为答案:非常感谢上级领导对我的信任,这次安排我向股份公司述职,既是对我履行职责的监督,也是对我个人的关心和爱护,更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。圆的参数方程的应用[例2] (福建高考)已知直线l的参数方程为(t为参数),圆C的参数方程为(θ为参数).(1)求直线l和圆C的普通方程;(2)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围.[思路点拨] (1)化参数方程为普通方程.(2)利用圆心到直线的距离d≤4可求.[精解详析] (1)直线l的普通方程为2x-y-2a=0,圆C的

5、普通方程为x2+y2=16.(2)因为直线l与圆C有公共点,故圆C的圆心到直线l的距离d=≤4,解得-2≤a≤2.解决此类问题的关键是化圆的参数方程为普通方程后再求解.2.设点M(x,y)在圆x2+y2=1上移动,求点Q(x(x+y),y(x+y))的轨迹的参数方程.解:设M(cosθ,sinθ)(0≤θ<2π),点Q(x1,y1),则0≤θ≤2π,即为所求的参数方程.[例3] 已知点P(x,y)是圆0≤θ≤2π上的动点.(1)求x+y的取值范围;(2)若x+y+a≥0恒成立,求实数a的取值范围.[思路点拨] 本题考查圆的参数方程的求法及不等式的恒成立问题.解决本

6、题需要正确求出圆x2+y2=2y的参数方程,然后利用参数方程求解.[精解详析] (1)∵P在圆上,∴x+y=cosθ+sinθ+1=2sin(θ+)+1.∴-2+1≤x+y≤2+1,即x+y的取值范围为非常感谢上级领导对我的信任,这次安排我向股份公司述职,既是对我履行职责的监督,也是对我个人的关心和爱护,更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。[-1,3].(2)x+y+a=cosθ+sinθ+1+a≥0,∴a≥-(cosθ+sinθ)-1.又-(cosθ+sinθ)-1=-sin(θ+)-1≤-1,∴a≥-1,即a的取值范围为[-1,+∞).(1)解

7、决此类问题的关键是根据圆的参数方程写出点的坐标,并正确确定参数的取值范围.(2)利用圆的参数方程求参数或代数式的取值范围的实质是利用正、余弦函数的有界性.3.将参数方程(0≤θ≤2π)转化为直角坐标方程是________________,该曲线上的点与定点A(-1,-1)的距离的最小值为________.解析:易得直角坐标方程是(x-1)2+y2=1,所求距离的最小值应为圆心到点A的距离减去半径,易求得为-1.答案:(x-1)2+y2=1 -1一、选择题1.圆的参数方程为0≤θ≤2π.则圆的圆心坐标为(  )A.(0,2)         B.(0,-2)C.(-

8、2,0)D

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