立足一题多解 让思维绽放精彩

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1、立足一题多解让思维绽放精彩　　【摘要】高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。数学是思维的体操，思维是学习数学的灵魂。对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解。我们可以立足一题多解的数学思维，完善和丰富知识结构，以更理性的眼光去思考数学问题，领悟数学思想。“一题多解”让课堂充满灵动的数学思想，让思维绽放精彩。　　【关键词】一题多解；数学思想；数学思维　　《高中数学新课程标准》课程的基本理念指出：高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。新课程目标对老师的教学提出了新的挑战的同时，对我们

2、学生的数学思维品质和数学素养提出了新的要求。为此笔者所在学校在拓展课程中开设了“数学素养课”。旨在拓展我们学生数学思维，积累学生数学基本经验，提升学生数学素养。学生该怎样围绕教材在教师的精心引导下，更好地践行新课标核心理念呢？笔者认为学生尽可能多的立足一题多解的数学活动课是践行课标的关键环节之一。笔者结合自己在“数学素养课”中的实践，以课堂授课题源为载体，就张角最值问题撷以类述。　　一、立足一题多解，完善知识思维结构6　　数学是思维的体操，思维是学习数学的灵魂，学生尽可能多的参与一题多解的数学活动课，在老师精心引导下，一题多解让我们学生学会思考，学会用数学思想武装

3、自己，学生知识系统必将得以建构，知识结构必将得以完善。　　课例1（初中平面几何题）如图，在四边形ABCD中，有AD//BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12。如图，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由。　　探寻轨迹：对张角求最值，这对初中学生来说极其陌生。少数有解题经验的学生会先求出动点P在几个特殊静态位置时cos∠BPC的大小，再比较猜想结论：P点在BC的垂直平分线与AD交点处时cos∠BPC的值最小，然后通过构造辅助圆如解答图③，应用“同弧所对圆周角大

4、于圆外角”去证明∠BPC最大，最后利用勾股定理求出构造圆的半径继而顺利求出cos∠BPC最小值。　　上述方法是借助构造辅助圆去解决问题。如果想不出这个辅助圆，解答便陷入“死胡同”，怎样冲出“死角”，笔者从高中学生的探究角度，有以下几种思路来确定动点P的位置，从而解决问题，方法如下：　　方法一正弦定理：BC=2Rsin∠BPC，当△BPC的外接圆的半径R最小时，sin∠BPC的值最大，由锐角三角函数的增减性得∠BPC最大，cos∠BPC的值最小。而当△BPC的外接圆的半径R最小时，△BPC的外接圆与AD相切，切点为P点，也即点P的位置是线段BC垂直平分线与AD的交点

5、。怎样求cos∠BPC的最小值？如解答图③，利用∠BPC=∠BOQ转化到直角△BOQ中，应用勾股定理得到方程62+（4-R）2=R2解得圆的半径为，于是得出cos∠BPC=cos∠BOQ==，也即cos∠BPC的值最小为。6　　方法二余弦定理：如解答图③设P′P=a，其中P点是线段BC垂直平分线与AD的交点，由余弦定理得　　方法三三角形面积公式：S=BP×PC×sin∠BPC=24，要使cos∠BPC最小也就是使sin∠BPC最大，故只需BP×PC的值最小，由方法二得BP×CP=×=，显然，当a=0时即P′与P点重合时，BP×PC的值最小为84，sin∠BPC的最

6、大值是，由此得cos∠BPC的值最小。　　方法四建立平面直角坐标系：如解答图③中以B点为坐标原点建立平面直角坐标系，则B（0，0）、C（12，0），设P（x，4），其中4≤x≤12，由平面上两直线的夹角公式（类比正切的和差公式）得：　　tan∠BPC===，当x=6时即P′与P点重合时tan∠BPC有最大值4，此时∠BPC最大，由同角三角函数之间的关系，可计算出此时cos∠BPC的值最小。　　数学学科特点要求学生掌握知识必须尽可能系统、完整，如对张角求最值，就会将相关三角函数的知识点整合、联系在一起，从而衍生出多种解题思路，形成链条反应。因此立足一题多解，学生知识

7、系统必将得以建构，知识结构必将得以完善，而且反过来还可以促进学生发散思维的发展。因为掌握知识越全面和牢固，发散的角度越多，可以帮助学生维持一种思维的灵动状态，也可以帮助学生完善和丰富知识思维结构。　　二、立足一题多解，培养理性数学思维6　　人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想像、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断。一题多解的数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用。　　课例2（高中立体几何应

8、用题）如图