高中学生数学类比思维的培养

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1、高中学生数学类比思维的培养　　[摘要]　　类比思维一直是数学学习中不可缺少的一种学习思维。它能让学生通过对A知识内容的学习进而激发出对B知识的学习热情。培养学生的类比思维能让学生猜想与发现结论，从而帮助寻找解题思路。　　[关键词]　　类比思维;联想;双曲线　　从事高中数学教学以来，笔者发现，教师在课堂教学中不仅要创设教学情境，激发学生学习兴趣，还要培养学生诸如逆向思维、归纳思维、整体思维、类比思维等。基于高中数学知识点多且抽象复杂，其定理、概念、性质和解题方法要求学生具有一些数学思维，其中类比思维是学习数学知识与解题中运用较为普遍且有效的思维方式之一。类比思维能让学生通过

2、A知识内容的学习进而激发学习B知识的引路学习方式。如何培养学生的类比思维，运用有效的方法学习高中数学与解题会取到很好的效果。　　一、类比思维论述　　类比就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式。类比思维是从两个对象之间在某些方面的相似关系中受到启发，从而使问题得到解决的一种创造性思维。类比思维具有联想、启发、假设、模拟等多种功能，在创造性思维中居于重要的地位。6　　二、类比思维与高中数学学习的关系　　类比思想由来已久，我国古代著名木匠鲁班看到带有齿轮状的树叶，他根据类比思想发明了一种砍树工具――锯;还有著名的物理学家牛顿运

3、用类比思维将自由落体运动与天体的运动作比较，最终发现了万有引力定律。在高中数学教学与学习中，教师不妨培养学生的类比思维，运用类比思想深入分析和探讨类比方法在课堂教学中的应用。　　首先，教师应当根据教材内容编排的特点，在传授新知识时，可以有意识地引导学生，通过类比思维方法得出所要讲授的新知识，以此慢慢让学生掌握类比推理的方法。其次，教师在对学生进行阶段性知识总结复习时，可以借助相关的知识进行类比，以培养学生对相关知识进行类比的习惯。最后，在对学生讲述如何解题的教学中，教师通过类比引导学生进行推广数学命题或者通过类比，从中寻找解题的途径，以达到深化对题目相关考查知识的理解，从

4、而掌握这些数学思想方法。　　三、类比思维的运用――以椭圆、双曲线教学知识为例　　高中学习中，很多知识点学习时可以通过对比学习，这种对比就是常说的类比思维。下面将以圆锥曲线中椭圆、双曲线知识为例，谈谈如何进行类比思维。教师在讲解椭圆和双曲线教学内容的时候，可以展示如下表类比对象。　　通过类比二者的不同和相同处，让学生透彻理解并掌握椭圆和双曲线这两个对象的表达式和图像及性质。为了更好的说明类比思维在数学学习中的运用，下面选取椭圆和双曲线部分性质给予论证。　　（一）关于焦半径公式的运用6　　类比思维是创造性思维的一种形式，有时我们可以从一种研究对象的结论出发，往往能创造的喜悦不

5、可思议。焦半径公式在圆锥曲线学习时，会经常使用到。下面用一道例题看看这两个知识有何区别。　　例1、已知P（x0，y0）是椭圆[x2a2+y2b2=1]（a>b>0）上一点，[F1，F2]是椭圆的两个焦点，则有

6、PF1

7、=a+ex0，

8、PF2

9、=a-ex0;类比思考之后，你能得出双曲线类似的结论吗？　　其实，在双曲线[x2a2-y2b2=1]（a>0，b>o）[F1（-c，0）]，[F2（c，0）]中，经过论证，有

10、PF1

11、=

12、ex0+a

13、，

14、PF2

15、=

16、ex0-a

17、。为了去绝对值，还要再分两种情况：当P在双曲线左支上时，则

18、PF1

19、

20、=-（ex0+a），

21、PF2

22、=-（e

23、x0-a）;当P在双曲线右支上时，则

24、PF1

25、

26、=ex0+a，

27、PF2

28、=ex0-a。　　此外，对于焦点在y轴的标准方程，可相应将x0换成y0即可得出公式。　　教师需要根据把椭圆与双曲线的知识点是紧密联系的，将知识点进行合理迁移，在通过类比得出另一种研究对象的许多意想不到的结论。正如现代美籍匈牙利数学家波利亚曾说过：“如果没有相似推理，那么无论是在初等数学还是在高等数学中，甚至在其他任何领域中，本来可以发现的东西，也可能无从发现。”　　（二）根据基本概念与性质推导其他性质的运用　　对于椭圆、双曲线的学习，学生一定要掌握这两大知识内容的基本性质。类比思维是合情推理中6一种重

29、要的思维方式，学生一定要能利用概念与性质推导出其他性质，从而在数学解题中让题目迎刃而解。下面两道题目对激发学生的解题兴趣很有帮助。　　例2、设椭圆[x2a2+y2b2=1]（a>b>0），[F1，F2]是椭圆的两个焦点，点M为椭圆上除顶点外的任一点，[∠F1MF2=α]，则三角形[F1MF2]的面积[S=b2tanα2]。请证明这个三角形面积。类比思考之后，你能得出双曲线有类似的结论吗？　　证明：由椭圆定义得：[MF1+MF2=2a????（1）]　　在[△F1MF2]中，由余弦定理可得：　　[MF12+MF22-2MF1?M