函数周期性与对称性的探究与应用

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1、函数周期性与对称性的探究与应用　　随着新课改的推进，新教材知识面的扩充和实际应用能力要求的提高，学生严重感到学习数学的困难，尤其是初中升入高中的学生尤其不适应高中数学，特别是在函数章节，因为它蕴涵着数学的数形结合思想，化归思想，换元思想等.因此我认为新旧教材适当结合，仍有利于学生充分掌握函数的知识体系.在必修1中，函数的奇偶性重现教材，就是一个很好的例证.必修4中，从三角函数引出函数的周期性，是能让学生充分理解有关知识的优势，仍是教材中必备的亮点.事实上，适当地结合函数的周期性和函数的奇偶性、对称性，更能让学生把握函数中数形结合的魅力.它不仅在高考中起着一定的解题作用，在

2、竞赛中也是常用的手法.本文针对函数的周期性和对称性，略谈自己的一些认识。　　先让我们了解下函数图象的对称性以及周期性的相关性质和常见结论.　　一、函数图象关于直线对称的一些性质：　　1.定义在上的函数，若，则函数的图象关于直线对称，反之，若函数的图象关于直线对称，则必有.　　证明：若，设点为函数图象上任意一点，　　而点关于直线的对称点为，，　　点也在的图象上，即函数的图象关于直线对称。4　　反之，若函数的图象关于直线对称，设点为函数的图象上任一点，而点关于直线的对称点也在的图象上，　　，令，则，。　　2.定义在上的函数，若，则函数的图象关于直线对称，反之，若函数的图象关于

3、直线对称，则必有：成立。特别地，当时，函数的图象关于　　对称。当时，函数的图象关于对称，是偶函数。　　3.函数图象关于点对称的性质：定义在上的函数，若恒成立，则函数的图象关于点对称，反之，若函数的图象关于点对称，则必有：　　证明：若，设点为函数图象上任意一点，　　而点A关于点的对称点为，　　令，则，故　　所以点B也在的图像上。即的图象关于点对称　　反之也成立。　　特殊结论：当时，的图象关于对称，　　当时，的图象关于对称，是奇函数。　　二、函数周期的一些性质　　1.函数周期的定义：一般地，对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫周期

4、函数，非零常数T叫这个函数的周期。　　2.几个常见结论：　　（1）若函数满足对定义域内的任意恒成立，则是以为一个周期的周期函数。4　　（2）若函数满足对定义域内的任意恒成立，则是以为一个周期的周期函数。　　（3）若函数满足对定义域内的任意恒成立，则是以为一个周期的周期函数。　　（4）若函数满足对定义域内的任意恒成立，则是以为一个周期的周期函数。　　（5）若函数满足对定义域内的任意恒成立，则是以为一个周期的周期函数。　　（6），则的周期T=3a；　　（7）若函数满足对定义域内的任意恒成立，则是以为一个周期的周期函数。　　3.函数的对称性与周期性的常见联系　　（1）若定义在的

5、函数的图象关于直线和直线对称，则函数必为周期函数，是它的一个周期。　　（2）若函数关于点和点对称，则函数必为周期函数，是它的一个周期。　　（3）若函数关于点和直线对称，则函数必为周期函数，是它的一个周期。　　（4）由前文可知，若定义在的函数，满足且，则函数必为周期函数，是它的一个周期。　　三、探究应用　　探究一.已知函数是定义在上的函数，若对任意的，有，且，，求的值　　简析：由已知对恒成立，得，6为函数的一个周期。4　　探究二.已知函数的图象关于点对称，则点的坐标是（）　　简析一：设，任意给点，则点关于点的对称点为，由，，联立可解得，，故选.　　简析二：　　由上文可知：定

6、义在上的函数，若恒成立，则函数的图象关于点对称。则对称点坐标为.　　探究三：设函数上满足，，且在闭区间上只有.试求方程在闭区间上根的个数.　　简析：由且得，函数的图象关于直线和直线对称，所以10为函数的一个周期.又，故对任意满足或的整数，都有.满足以上两个不等式的各有403个，　　在闭区间上根有806个.　　探究四.已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且，则的值。　　简析：若的图象关于直线对称，函数的图象关于直线对称，函数对任意都有，令得，..10为函数的一个周期..4