用geogebra促进学生数学思维的发展

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1、用GeoGebra促进学生数学思维的发展　　“数学是人类思维的体操”，利用数学可以培养人的思维能力，这些都已经是大家的共识。另外，数学思维是一个整体的结构，数学教学应从思维的整体性出发，数学教学要提高教学的理解力，促进学生思维整体结构的发展[1]。在信息技术飞速发展的今天，如何借助有关软件来进行数学教学，帮助学生发展数学思维能力，已经成为广大数学教育工作者十分关注的问题。　　GeoGebra是一款结合了几何、代数、微积分和统计功能的动态数学软件，其提供了多种语言支持，已在欧洲和美国荣获多项教育类软件奖项。这一软件近年来也越来越受到了一线教师的关注，得到了广泛的应用和探讨[2][3][4][5

2、]。在试用和探索的过程中，笔者发现，比起过去大家课堂上使用的主流软件，GeoGebra更能促进学生数学思维的发展，更有利于减轻一线中学数学教师制作课件和教学等的负担，下面选取几个案例加以说明。　　关于分段函数的教学　　函数是中学数学内容中一个非常重要的讨论对象。而分段函数性质的考查，既涉及整体性的考量，又要处理函数局部的特征，因此这一内容一直是教学重点和难点之一。在实际教学过程中，借助分段函数的图像来突破上述重难点是非常有效的教学手段。然而，手工或者利用有关教学软件作出分段函数的图像，一直是比较烦琐和困难的。6　　例如，如果在课堂上要作出函数的图像，有些教师作出的图像如图1所示，其中用加粗的

3、曲线表示出了分段函数的图像。　　不难看出，用这样的图像进行教学会有不理想的地方，因为多余曲线的存在会干扰学生的思维，阻碍学生对分段函数整体性质的理解。　　也有些教师是借助符号函数等将函数表达式化为一个，然后借助有关软件实现的。例如，上述分段函数可以改写为：　　对于这种方式而言，即使不过分追究其中0的问题，单就分段函数改写的表达式来理解，对学生来说也并不容易。　　但如果使用GeoGebra，只需使用“if”命令就可以实现分段函数的显示和作图。例如，对于上述分段函数，只需在命令输入窗口中输入“f（x）=if[x<=0，x2+2x，x2-2x]”，即可得到图2所示图像。　　图2中代数区显示的函数表

4、达式，与学生课堂中所见形式是类似的，这无疑也能减轻学生理解上的负担。　　动态过程的实现　　在一些内容的教学过程中，使用动态效果来让学生加强对有关结论的直观认识，已经是现在数学课堂上不可缺少的一种教学方式。这当然也是培养学生数学思维能力的一种有效手段。比如，为了让学生深刻地理解函数中参数A对函数图像的影响，教师一般都会制作有关动画来动态演示变化过程。　　在GeoGebra中，选中“滑动条”之后在绘图区合适的位置单击，即可新建参数，在出现的对话框中可以指定参数的类型（“数字”“角度”“整数”6），设置区间的最小值、最大值和增量等。参数建立以后，就可以立即在函数表达式中使用。更加方便的是，右键单击

5、参数后，在快捷菜单中选择“启动动画”，就可以让参数在指定的范围内自动变化，从而产生动画效果。例如，上述三角函数的实现如图3所示。　　选择“文件”“导出”“动画GIF”命令后，可以将动画效果导出为GIF图像，以供制作PPT等使用。这对于教师来说，无疑是个非常适用的功能。　　空间想象能力的培养　　空间想象能力的培养是中学数学教学中一个非常重要的目标。给定空间几何体，要学生画出对应的平面直观图；给定二维的平面直观图，让学生想象出有关空间几何体及其中对象的位置关系等，都是教学中经常要做的事情。在这一过程中，涉及三维与二维相互转化的问题，因此，这也是教学中的一个难点。　　例如，空间几何体直观图的斜二测

6、画法中，要求看不见的线应该画成虚线或者不画。在实际的操作过程中，无论是对教师来说还是对学生来说，这都是很容易出错的。但在GeoGebra中，利用其中的“3D绘图区”，只要指定了空间几何体的各个面，那么看不见的线就能自动变为虚线，而且当改变空间几何体的视角时，各线段也能自动在实线和虚线间切换，如图4所示。　　另外，在图4所示的立体图形中，显示了球面与棱锥相交之后的截面形状，这些内容的突出显示能提高学生对立体图形中有关几何对象的认识，从而提高自己的空间想象能力。　　统计计算和分析　　因为统计的有关内容与日常生活的6联系非常紧密，而且在社会的各个方面都有应用，因而已经成为现代公民必须具备的知识之一

7、。但是，在中学数学的教学中，因为统计知识所涉及的“随机性”思想与传统数学内容“确定性”的思想区别较大，所以教学和考查都是学生容易出错的地方[6][7]。　　统计的内容学生掌握起来比较困难的一个原因在于，其中涉及的计算比较烦琐而且容易出错。学生在学习的过程中，常常过分地关注了其中的计算而轻视了统计思想的理解。　　例如，学生对平均值与方差，都知道怎么去算（虽然不一定算得对），但是大多数都不能将其直观意义说出来。再