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时间:2019-01-12
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1、循环数中的卡普列加数 【摘要】本文讲述了在循环数中寻找卡氏甲数,用循环数表达卡氏乙数的方法,给出了卡普列加数的周期循环变化规律,从而揭示了循环数的周期现象. 【关键词】卡普列加数;卡氏甲数;卡氏乙数;广义卡普列加数;循环数符号 如果既约真分数ba(分母a不含2及5的素因数)是一个可化为纯循环小数的分数,例如,59=0.5?,5[]11=0.4?5?,9[]11=0.8?1?,1[]7=0.1?42857?,那么5,45,81,142857等循环数与“卡普列加数”有关系吗?首先,我们来看“卡普列加数”的有关定义: 定义1取一个任意自然数M,将其平方M2切为两半,并求其
2、和M′.若M′=M,则M即为二阶卡普列加数或二阶卡氏甲数(简称卡氏甲数),M2的运算结果称为卡普列加平方数或二阶卡氏乙数(简称卡氏乙数). 定义2若(x)n或[x]n(x为正整数)表示把x重写n遍并串联在一起的n重数,则由重复数x组成的卡氏甲数[x]n称为以x为底数的n重卡氏甲数(简称n重卡氏甲数).例如: [(81)3]2=8181812=669420
3、148761,M′=669420+148761=818181=(81)3. (为了说明方便起见,在中间插入一个竖记号
4、,表示前半部分与后半部分的界限)8 显然,遵循“定义1”的思路,可以把“二阶卡氏甲数”推广到“三
5、阶卡氏甲数”“四阶卡氏甲数”……(也叫作广义卡普列加数).例如: [(81)8]3=5477084898572500
6、2351615326821940
7、??0353117956423741, M′=5477084898572500+2351615326821940+0353117956423741=(81)8, [(5)2]4=554=09
8、15
9、06
10、25,M′=09+15+06+25=55, 其中(81)8,55分别称为三阶、四阶卡氏甲数,[(81)8]3,554的结果分别称为三阶、四阶卡氏乙数. 其次,我们先来研究二阶卡氏甲数的求法. 巧求二阶卡氏甲数
11、如何求纯循环小数中以循环数为底数的n重卡氏甲数呢?首先,我们探讨纯循环小数的循环数.以17为例.重复应用普通的除法可得17=0.1?42857?余3,2,6,4,5,1.下面列出b7(b=1,2,…,6)的余数和商: 其次,我们来求17的循环数142857的平方,并把平方的结果切成两半求和(简称循环和): 1428572=020408│122449,020408+122449=142857. 再把循环和连续写两遍即142857142857,并把这个数分成6节(每两个数字分成一节),依次分别填入表一中的循环和中.8 再次,如果循环和某一节中的两位数与对应的商的一个数字
12、以及下一个数字组成的两位数相同,那么从这两位数开始的循环数,就是一重卡氏甲数.如表一循环和中的1?4?与对应的商数是1及下一个商数是4,那么从14开始的循环数142857就是一重卡氏甲数,并把“1”填在表一n中的对应位置. 最后,余数从“1”开始,按顺时针方向把余数1,3,2,6,4,5围成一圈(如图1), 图1然后从“1”开始,按逆时针方向顺序依次可得到6个数(简称反向排列)为1,5,4,6,2,3,并把后5个数依次填在表一n中的对应位置上.这样,由表一可得到另外5个卡氏甲数,如n=4对应的商数c=285714,则(285714)4就是卡氏甲数.所以,由表一可依次得到
13、6个卡氏甲数:(142857)1、(428571)5、(285714)4、(857142)6、(571428)2、(714285)3. 由于大部分的既约真分数b[]a的循环节长度比较长,循环数书写起来很不方便,所以本文规定:循环数符号b[]aλλ表示b[]a的循环节长度表示既约真分数b[]a的最小循环数.例如,由于2[]7=0.2?85714?的循环数是285714,循环节长度为6,则循环数符号2[]7λ=6表示的数为285714,即2[]7λ=6=285714.引进了“循环数符号”后,前面所求的6个二阶卡氏甲数可以简写为:1[]7λ=6 当a-1[]2<λ≤a-1,即
14、λ=φ(a)时,既约真分数b[]a只要构造一个余数、商数表就能求出b[]a的所有循环数.这样,利用上面的方法就可以求出n重卡氏甲数baλn中的b值及n值.当然,搜求卡氏甲数的最主要方法是利用同余式.如911的循环数是81,由同余式81×3≡81(mod11),可得卡氏甲数(81)3.既然利用上面的方法可以独立求出卡氏甲数,那么这个卡氏甲数所对应的卡氏乙数能否独立求出吗? 6等都是卡氏甲数,那么如何求出它们的卡氏乙数呢?卡氏甲数与卡氏乙数有什么关系呢?我们先来研究(57)λ=63即(714285)3所对应的卡氏乙数
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