循环数中的卡普列加数

《循环数中的卡普列加数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、循环数中的卡普列加数　　【摘要】本文讲述了在循环数中寻找卡氏甲数，用循环数表达卡氏乙数的方法，给出了卡普列加数的周期循环变化规律，从而揭示了循环数的周期现象.　　【关键词】卡普列加数；卡氏甲数；卡氏乙数；广义卡普列加数；循环数符号　　如果既约真分数ba（分母a不含2及5的素因数）是一个可化为纯循环小数的分数，例如，59=0.5?，5[]11=0.4?5?，9[]11=0.8?1?，1[]7=0.1?42857?，那么5，45，81，142857等循环数与“卡普列加数”有关系吗？首先，我们来看“卡普列加数”的有关定义：　　定义1取一个任意自然数M，将其平方M2切为两半，并求其

2、和M′.若M′=M，则M即为二阶卡普列加数或二阶卡氏甲数（简称卡氏甲数），M2的运算结果称为卡普列加平方数或二阶卡氏乙数（简称卡氏乙数）.　　定义2若（x）n或[x]n（x为正整数）表示把x重写n遍并串联在一起的n重数，则由重复数x组成的卡氏甲数[x]n称为以x为底数的n重卡氏甲数（简称n重卡氏甲数）.例如：　　[（81）3]2=8181812=669420

3、148761，M′=669420+148761=818181=（81）3.　　（为了说明方便起见，在中间插入一个竖记号

4、，表示前半部分与后半部分的界限）8　　显然，遵循“定义1”的思路，可以把“二阶卡氏甲数”推广到“三

5、阶卡氏甲数”“四阶卡氏甲数”……（也叫作广义卡普列加数）.例如：　　[（81）8]3=5477084898572500

6、2351615326821940

7、??0353117956423741，　　M′=5477084898572500+2351615326821940+0353117956423741=（81）8，　　[（5）2]4=554=09

8、15

9、06

10、25，M′=09+15+06+25=55，　　其中（81）8，55分别称为三阶、四阶卡氏甲数，[（81）8]3，554的结果分别称为三阶、四阶卡氏乙数.　　其次，我们先来研究二阶卡氏甲数的求法.　　巧求二阶卡氏甲数　　

11、如何求纯循环小数中以循环数为底数的n重卡氏甲数呢？首先，我们探讨纯循环小数的循环数.以17为例.重复应用普通的除法可得17=0.1?42857?余3，2，6，4，5，1.下面列出b7（b=1，2，…，6）的余数和商：　　其次，我们来求17的循环数142857的平方，并把平方的结果切成两半求和（简称循环和）：　　1428572=020408│122449，020408+122449=142857.　　再把循环和连续写两遍即142857142857，并把这个数分成6节（每两个数字分成一节），依次分别填入表一中的循环和中.8　　再次，如果循环和某一节中的两位数与对应的商的一个数字

12、以及下一个数字组成的两位数相同，那么从这两位数开始的循环数，就是一重卡氏甲数.如表一循环和中的1?4?与对应的商数是1及下一个商数是4，那么从14开始的循环数142857就是一重卡氏甲数，并把“1”填在表一n中的对应位置.　　最后，余数从“1”开始，按顺时针方向把余数1，3，2，6，4，5围成一圈（如图1），　　图1然后从“1”开始，按逆时针方向顺序依次可得到6个数（简称反向排列）为1，5，4，6，2，3，并把后5个数依次填在表一n中的对应位置上.这样，由表一可得到另外5个卡氏甲数，如n=4对应的商数c=285714，则（285714）4就是卡氏甲数.所以，由表一可依次得到

13、6个卡氏甲数：（142857）1、（428571）5、（285714）4、（857142）6、（571428）2、（714285）3.　　由于大部分的既约真分数b[]a的循环节长度比较长，循环数书写起来很不方便，所以本文规定：循环数符号b[]aλλ表示b[]a的循环节长度表示既约真分数b[]a的最小循环数.例如，由于2[]7=0.2?85714?的循环数是285714，循环节长度为6，则循环数符号2[]7λ=6表示的数为285714，即2[]7λ=6=285714.引进了“循环数符号”后，前面所求的6个二阶卡氏甲数可以简写为：1[]7λ=6　　当a-1[]2<λ≤a-1，即

14、λ=φ（a）时，既约真分数b[]a只要构造一个余数、商数表就能求出b[]a的所有循环数.这样，利用上面的方法就可以求出n重卡氏甲数baλn中的b值及n值.当然，搜求卡氏甲数的最主要方法是利用同余式.如911的循环数是81，由同余式81×3≡81（mod11），可得卡氏甲数（81）3.既然利用上面的方法可以独立求出卡氏甲数，那么这个卡氏甲数所对应的卡氏乙数能否独立求出吗？　　6等都是卡氏甲数，那么如何求出它们的卡氏乙数呢？卡氏甲数与卡氏乙数有什么关系呢？我们先来研究（57）λ=63即（714285）3所对应的卡氏乙数