记清公式 厘清概念 理清思路

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1、记清公式厘清概念理清思路　　数列是高中数学的重要内容，高考中具有重要的地位.在考试说明（江苏）中属于“C”级要求，是八大重要考点之一，主要考查数列的概念、公式、性质及其综合应用.透视历届学生的易错题，往往因为初学时其中的公式、概念、方法理解不透彻，进而导致出错.在后续学习和考试中，怎样才能避免重蹈覆辙呢？笔者结合自己的理解，拟以如何准确把握常见易错题的视角，将部分易错题进行分类，剖析错误、给出正解、并指出应对的方略.　　一、记清公式　　虽然教材上数列的基本公式较少，但其变式的灵活性、数列的抽象性和

2、限制条件的多样性很容易导致解答时出现错误.　　易错点1“前几项”出错　　例1已知数列{an}的前n项的和为Sn，若Sn=2n2+3n-1，求an.　　错误解答：∵Sn=2n2+3n-1，∴Sn-1=2（n-1）2+3（n-1）-1=2n2-n-2，　　∴an=Sn-Sn-1=4n+1.　　错因分析：此解法直接利用“Sn-Sn-1”求“an”，忽略了由“Sn”求“Sn-1”时，“n”要满足“n≥2”这个条件，忽视了a1的特殊性.　　正确解答：1°当n=1时，a1=S1=4；　　2°当n≥2时，an=

3、Sn-Sn-1=4n+1.4　　综上所述，an=4n=14n+1n≥2.　　准确把握：记清公式an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2，只有当“n=1”的结果能并入“n≥2”的式子，才能合成一个式子，否则必须写成分段函数的形式.　　易错点2“等比数列求和”出错　　例2在等差数列中{an}中，a1=1，前n的和Sn满足S2nSn=4n+2n+1，n∈N*.　　（1）求数列{an}的通项公式.　　（2）记bn=（2an+1）pan（p>0），求{bn}的前n项和Tn.　　错误解答：（1）设数列{an

4、}的公差为d，　　∴S2nSn=2n+2n（2n-1）2dn+n（n-1）2d=4dn-2d+4dn+2-d，　　∵S2nSn=4n+2n+1，∴4dn-2d+4dn+2-d=4n+2n+1，易得d=1，∴an=n.　　（2）∵an=n，∴bn=（2n+1）pn，∴Tn=3p+5p2+…+（2n-1）pn-1+（2n+1）pn，　　∴pTn=3p2+5p3+…+（2n-1）pn+（2n+1）pn+1，∴（1-p）Tn=3p+2（p2+…+pn）-（2n+1）pn+1①　　=3p+2p2（1-pn）

5、1-p-（2n+1）pn+1，　　∴Tn=3p1-p+2p2（1-pn）（1-p）2-（2n+1）pn+11-p②　　错因分析：对于问题（2）采用“错位相减法”求和，①式中的“p2+…+pn”是一个等比数列的和，其项数为“n-1”，错为“n”项.且由于“p>0”，求和时还必须讨论“p=1”和“p≠1”.　　正确解答：（上同）1°当p=1时，bn=2n+1，∴Tn=n2+2n.4　　2°当p≠1时，∴（1-p）Tn=3p+2（p2+…+pn）-（2n+1）pn+1　　=3p+2p2-pn+11-p-

6、（2n+1）pn+1　　=3p-p21-p-（21-p+2n+1）pn+1，　　∴Tn=3p-p2（1-p）2-2（1-p）n+3-p（1-p）2pn+1.　　准确把握1：等比数列的求和公式：　　Sn=na1q=1a1（1-qn）1-q=a1-anq1-qq≠1　　首先，运用公式时，要讨论“公比q”是否为“1”；其次，当q≠1时，若项数不能确定，可以采用公式Sn=a1-anq1-q.　　准确把握2：“归纳”是一种重要的合情推理，而在数列中问题的条件大多是一些对n∈N*均成立的等式，我们可以从特殊的

7、前几项入手进行归纳推理，或研究其相邻的式子.例如，本题中的第（1）问，由于已经知道是等差数列，所以可以采用“特殊化”的想法，求出“d”即可.具体做法如下：　　∵S2nSn=4n+2n+1，n∈N*，∴S2S1=4+21+1=3，∴S2=3S1=3a1=3，　　∴a2=S2-S1=2，∴an=n.　　将“n∈N*均成立的等式”采用特殊化法，明显简单多了，直接影响着问题解决的速度.　　二、厘清概念　　易错点3“等差（比）数列”的概念　　无论是等差数列还是等比数列，其概念无疑是最重要的.例如，等差数列的

8、定义是“从第二项开始，后项与前项的差是同一个常数”，如果将“an”看成后项，则“an-1”4是前项，等差数列的概念就可以用数学符号简洁地表达：“an-an-1=d”，但必须加上条件“n≥2”这样才能体现“从第二项开始”.　　例3{an}，{bn}都是等差数列，前n项和分别为Sn，Tn，且SnTn=2n-13n+2，则a9b9=.　　错误解答：∵SnTn=2n-13n+2，不妨设：Sn=2n-1，Tn=3n+2，　　∴a9=S9-S8=2；b9=T9-T8=3，∴a9b9=23.