例谈“1”的妙用

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1、例谈“1”的妙用　　【摘要】在中学数学解题中，若巧妙地用“1”，往往会给问题的解决带来极大的方便，本文从不等式，三角函数，几何，向量等六个方面，浅谈“1”的妙用.　　【关键词】中学数学；数学解题；1　　牢记几种不等式中“1”的妙用模型，可以减少思维的纠结，时间的消耗.　　一、基本不等式　　例1已知a>0，b>0，且a+4b=1，求1a+1b的范围.　　解∵a>0，b>0，a+4b=1，　　∴1a+1b=1a+1b（a+4b）　　=1+4+ab+4ba　　≥5+24ba?ab　　=9，　　当且仅当4ba=ab时取“=”，即a=2b，

2、　　∴b=16，a=13时取“=”.　　二、与三角函数的结合　　例2已知00，1-sinx>0，　　∴f（x）=1sinx+20091-sinx　　=1sinx+20091-sinx[sinx+（1-sinx）]　　=1+2009+1-sinxsinx+2009sinx1-sinx　　≥2010+22009.　　当且仅当1-sinxsinx=200

3、9sinx1-sinx时取“=”.　　三、与解析几何的结合　　例3已知直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A（a，0）、B（0，b）两点，且满足2a+1b=1，O为坐标原点，则△OAB的面积的最小值为.　　解∵a>0，b>0，2a+1b=1，　　∴S△=12ab=12ab?2a+1b　　=12（2b+a）　　=12（a+2b）?2a+1b　　=122+2+4ba+ab　　≥124+24ba?ab　　=12（4+4）　　=4.　　当且仅当4ba=ab即a=2b时取“=”.∴Smin=4.　　四、不等式与向量的结合　　例4设M是△ABC

4、内一点，且AB?AC=23，∠BAC=30°，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是△MBC、△MCA、△MAB的面积.若f（M）=12，x，y，则1x+4y的最小值是.4　　解设AB=c，AC=b，∠BAC=30°　　则AB?AC=b?c?cos30°=23，　　∴bc=4.　　又∵m、n、p分别是△MBC、△MCA、△MAB的面积，　　∴m+n+p=S△ACB=12bc?sinA=1.　　若f（M）=12，x，y，则12+x+y=1，即x+y=12，　　∴2（x+y）=1，　　∴1x+4y=1x+4y?2（x+y）

5、　　=2+8+2yx+8xy　　≥10+22yx?8xy　　=18.　　当且仅当y=2x时取“=”.　　五、不等式与应用题的结合　　例5在下面等号右侧两个分数的分母处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，1=1[]+9[]，则这两个数分别是.　　解设1=1x+9y，x∈Z+，y∈Z+，　　∴x+y=（x+y）1x+9y　　=1+9+yx+9xy　　≥10+2yx?9xy　　=16.　　当且仅当yx=9xy时取“=”即y=12，x=4时取等号.　　六、不等式与参数相结合4　　例6设a、b、c都是正数，且a、b满足1a+9b

6、=1，以使a+b≥c恒成立的c的取值范围.　　解∵a、b、c都是正数，1a+9b=1，　　∴a+b=（a+b）?1a+9b　　=10+ba+9ab　　≥10+2×3　　=16.　　当且仅当ba=9ab，即b=3a时“=”成立.　　∴a+b≥16，要使a+b≥c恒成立，只需00，b>0，c>0，且a+b+c=1，求证：1a+1b+1c≥9.　　证明∵a>0，b>0，c>0，a+b+c=1，　　∴1a+1b+1c=1a+1b+1c?（a+b+c）　　=3+ba+ab+c

7、a+ac+cb+bc　　≥3+2ba?ab+2ca?ac+2cb?bc　　=9.　　当且仅当a=b=c时取“=”.　　通过以上例子不难看出，涉及“1”的问题中若能重视“1”的灵活运用，可以起到“一”点通的妙效.4