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1、WORD格式整理学号：20155031201学年论文（本科）学院数学与统计学院专业数学与应用数学年级2015级姓名高传印论文题目幂级数及其应用指导教师周学勇职称讲师成绩学习参考资料分享WORD格式整理2016年12月05日学习参考资料分享WORD格式整理目录摘要………………………………………………………………………1关键词………………………………………………………………………1Abstract……………………………………………………………………1Keywords……………………………………………………………………1前言……………………
2、…………………………………………………11.幂级数的定义……………………………………………………………22.幂级数的收敛区间和收敛半径…………………………………………23.幂级数的运算……………………………………………………………43.1幂级数在求导数中的应用………………………………………………43.2幂级数在求极限中的应用………………………………………………53.3幂级数在计算级数和中的应用…………………………………………53.4幂级数在求微分方程中的应用…………………………………………6总结……………………………………………………
3、……………………7参考文献……………………………………………………………………7学习参考资料分享WORD格式整理幂级数及其应用学生姓名：高传印 学号：20155031201数学与统计学院数学与应用数学专业指导老师：周学勇 职称：讲师摘要：本文主要介绍了幂级数的定义、收敛区间、运算及其应用。关键词：幂级数；收敛区间；应用PowerseriesanditsapplicationAbstract：Thispapermainlyintroducesthedefinition,convergenceinterval,operationanda
4、pplicationofthepowerseries.Keywords：powerseries；convergenceinterval；application前言在数学分析中,数项级数是全部级数理论的基础，主要包括正项级数和交错级数，而正项级数在各种数项级数中是最基本的，同时也是十分重要的一类级数。级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法
5、，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数
6、可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。学习参考资料分享WORD格式整理1.幂级数的定义在引进幂级数定义之前,先介绍一下函数项级数的概念.设是定义在数集E上的一个函数列,表达式称为定义在E上的函数项级数,简记为或.定义由幂函数序列所产生的函数项级数(1)称为幂级数，是一类最简单的函数项级数.从某种意义上,它可以看作是多项式函数的延伸.幂级数在理论和实际上都有很多应用,特别是在应用它表示函数方面.下面将着重讨论,即(2)的情形,只要把（2）中的换成,就得到（1）.
7、2.幂级数的收敛区间和收敛半径定理2.1（阿贝尔定理）若幂级数（2）在,则处收敛,则对满足不等式的任何,幂级数（2）收敛,而且绝对收敛;若幂级数（2）在处发散,则对满足不等式的任何,幂级数（2）发散.证：设级数收敛,从而数列收敛于零且有界,即存在某整数M，使得另一方面对任意一个满足不等式的,设学习参考资料分享WORD格式整理，则有.由于级数收敛,故幂级数（2）当时绝对收敛.现在证明定理的第二部分.设幂级数（2）在处发散,如果存在某一个,满足不等式,使级数收敛.则知道级数（2）在处绝对收敛,与假设矛盾,故一切不满足不等式的,幂级数（2）
8、都发散.由此定理知道:幂级数（2）的收敛域是以原点为中心的区间.若以2R表示区间长度，则称R为幂级数的收敛半径.也是使得幂级数（2）收敛的那些收敛点的绝对值的上确界.所以当R=0时,幂级数（2）仅在处收敛；当时,幂级数（
