高中数学 第二章 概率 2_5 随机变量的均值和方差课堂导学 苏教版选修2-31

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1、高中数学第二章概率2.5随机变量的均值和方差课堂导学苏教版选修2-3三点剖析一、离散型随机变量的方差【例1】袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，但不放回原袋中，直到取到白球为止，求取球次数的期望及方差.解析：当每次取出的黑球不再放回时，设随机变量ξ是取球次数，因为每次取出的黑球不再放回去，所以ξ的可能值为1,2,3,4,5,易知P（ξ=1）==0.2,P(ξ=2)==0.2,P(ξ=3)==0.2,P(ξ=4)==0.2,P(ξ=5)==0.2.∴所求ξ的概率分布为：ξ12345P0.20.20.20.20.2∴Eξ=1×0.2+2×0.2+3×0.2+4×0.2+

2、5×0.2=3,Dξ=(1-3)2×0.2+(2-3)2×0.2+(3-3)2×0.2+(4-3)2×0.2+(5-3)2×0.2=2.温馨提示求期望和方差的问题关键是求随机变量的分布列，即求每种情况的概率.因此求事件的概率是基础，另外方差可用定义求，也可以用公式Dη=Eη2-（Eη）2求.二、离散型随机变量的方差的应用【例2】A、B两台测量仪器测量一长度为120mm的工件时分布列如下：A.1181191201211220.060.140.600.150.05B.1181191201211220.090.150.520.160.08解析：设随机变量ξ1表示用A仪器测量此产品长度的数值，随

3、机变量ξ2表示用B仪器测量此产品长度的数值，从而有Eξ1=118×0.06+119×0.14+120×0.60+121×0.15+122×0.05=119.99，Dξ1=(118-119.99)2×0.06+(119-119.99)2×0.14+(120-119.99)2×0.60+(121-119.99)2×0.15+(122-119.99)2×0.05=0.7299，Eξ2=118×0.09+119×0.15+120×0.52+121×0.16+122×0.08=119.99，Dξ2=(118-119.99)2×0.09+(119-119.99)2×0.15+(120-119.9

4、9)2×0.52+(121-119.99)2×0.16+(122-119.99)2×0.08=0.9899.由此可知，Eξ1=Eξ2，Dξ1

5、有P（ξ=1）=P，P（ξ=0）=1-P，从而Eξ=0×(1-P)+1×P=P,Dξ=(0-P)2×(1-P)+(1-P)2×P=P-P2.(1)Dξ=P-P2=-(P2-P+1[]4)+1[]4=-(P-1[]2)2+1[]4，∵0

6、这表明在两点分布试验中，离散型随机变量X围绕期望的平均波动大小为pq.变式提升1已知某离散型随机变量X服从下面的二项分布：P（X=k）=(k=0,1,2,3,4),求E（X）和D（X）.解析：根据题目知道离散型随机变量X服从参数n=4和p=0.1的二项分布，所以E（X）=np=4×0.1=0.4,D(X)=npq=4×0.1×0.9=0.36.类题演练2一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个选择正确答案得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分.某学生选对任一题的概率为0.6，求此学生在这一次测验中的成绩的期望与方差.解析：设该学

7、生在这次数学测验中选择正确答案的个数为X，所得的分数（成绩）为Y，则Y=4X.由题知X～B（25,0.6）,∴EX=25×0.6=15,DX=25×0.6×0.4=6,EY=E(4X)=4EX=60,DY=D(4X)=42×DX=16×6=96.答：该学生在这次测验中的期望与方差分别是60与96.变式提升2一个数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项正确，