让数学灵动起来

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1、让数学灵动起来　　【摘要】“九宫图”是一个简易的数学模型，却蕴含着大量的数学规律。教师要想在探究“九宫图”的各种内在数学规律的基础上，充分开发“九宫图”的教育价值，就要对九宫图的文化背景、九宫图的不同填法、“九宫图”的数字规律等进行深入的分析，从而提出教学设想。　　【关键词】九宫图教学价值　　“越是简单的知识，越能体现数学的本源。”九宫图就是这样的一个例子。在3×3的九个方格中，分别填入1至9这九个数。这是一个十分简单的数学问题，简单到只要以“20以内的加法”作为基础，就可以解决这个数学问题（如右图）。但是，却赋予它神话的色彩，下面让我们慢慢走进“九宫图

2、”的世界。　　一、九宫图的文化背景分析　　相传，在夏禹时代，洛水中曾出现过一只大的神龟，它的背壳上有个图（如左下图），人们把这个图称作“洛书”。据说，这个图中蕴含了世间万物的变化规律，“洛书”为当时的首领大禹所得，他从中悟出了治理天下的道理。　　“洛书”比较形象的称法是“九宫图”或“纵横图”，它的神奇特点吸引了无数人对它痴迷。从我国古代的“河出图，洛出书，圣人则之”的传说起，系统研究九宫图的第一人，是我国古代数学家――杨辉。8　　在国外，公元1300年被希腊数学家莫斯切普罗所推广，成为许多数学家倾注精力进行研究的一个数学题材。　　九宫图中的原理连小学生都

3、很容易理解，但它的内涵却是十分丰富的，它通过数字间的周转变化，数与形的和谐统一，局部与整体的全息对应，描绘出一个生动的宇宙演化的数学模型。它蕴含着大量的数学规律，“线线诸数合幻和、纵横巧合联四方、和差积方都巧等、三角方圆均有律”，它与算术、数论、幻方、代数几何、矩阵、趣味数学等都有联系。古今中外，不知多少学者著书立说，对九宫图进行深入的探索。　　从上面的阐述中，感受到了“九宫图”所特有的文化内涵，从它“现世”的那一刻起，就注定成为一个融数理与神话为一体的数理哲学的化身。因此，在引入“九宫图”时，如果我们能创设情境，恰当地阐述“九宫图”的文化背景，可以激发

4、学生对“九宫图”进行深入研究的兴趣。为后面研究或了解“九宫图”的各种不同的填法积累情感的基础。　　二、九宫图的填写方法分析　　九宫图的填法，如果用算术法凑数，可以用“罗列数组，对号入座”的方法很快地填出。但是，人们在此基础上，还创造出了许多口诀，根据口诀，可以按部就班地填出九宫图，增强填写“九宫图”的趣味性。下面我们列举几种适合小学生填写与了解的方法，并简要说明大致的教学设想。　　（一）罗列数组，对号入座　　这是最常用的构造九宫图的方法。　　我们知道，把1至9这九个数填入“九宫图”8，由于9个数的总和为45，每横行、每竖列、每横行和每斜行的三个数的和均相

5、等，所以这样的每三个数的和都应该是15，也就是说从1至9中选出三个数，至少需要组成8组不完全相同的和为15的数组。经过试验有且只有8组，分别是（1，5，9，）（2，5，8）（3，5，7）（4，5，6）（2，4，9）（2，6，7）（3，4，8）（1，6，8）。　　再观察右边的九宫图，写出以上8组和时，中间e的位置上的数被用到了4次，角上a，c，g，i的位置上的数被用到了3次，而边上b，d，f，h的位置上的数只被用到了2次。　　按上面的规律，把8组数中各个数出现的次数做一个统计，可以发现“5”被用了4次，“2，4，6，8”各被用了3次，“1，3，5，7”各被

6、用了2次。经过试验自然就可以把各个数“对号入座”了。　　从上面的叙述中，可以设想到，如果只给出要求，学生按要求把1至9这九个数填入九个方格中，学生首先会进行尝试，当出现错误时，会不断地调整，这是最原始的尝试法。之后，再引导学生反思填写要求，逐步发现上面叙述的有序的填写思路。这就是数学思考的力量。这样的一个过程适合三年级时组织学生填写。而对于一、二年级的学生则可以先填其中部分数，让学生根据规则，填写出满足要求的其他位置上的数。如请补全右面的“九宫图”。　　（二）归纳口诀，记忆填数　　用上面的填法，固然可以填写九宫图，但是需要一个较长的过程。因此，还可以编写

7、出填写的口诀。这些口诀又可以分为两类，一类是直接填数法，一类是表述过程法。　　1.直接填数法8　　直接填数法就是依据口诀，可以依次直接填写出各个位置上的数。最有名的是：　　戴九履一，左三右七，二四为肩，六八是足。　　上面的口诀，分明就是一只乌龟的造型，如右图。　　下面的口诀则是根据奇数与偶数不同位置特点编写而成的。　　九数从小排到大，中间数字中间填，四角填上偶数项，余下四数再补全。　　根据上面的口诀，可以按如下的图示填写。　　这给我们提供了很好的教学思路：在学生按“罗列数组，对号入座”的方法填写出“九宫图”后，请学生阅读上面的两句口诀，说一说这两句口诀的

8、意思及编写的思路。然后请学生再独立找一找“九宫图”中各个数的其他特征，自己来创作